Paréntesis dentro de un paréntesis

Cuando tenemos un paréntesis dentro de otro, para calcular las operaciones podemos empezar por el paréntesis de dentro o por el de fuera. Por ejemplo,

Explicamos cómo resolver ecuaciones con paréntesis. Antes, explicamos cómo funcionan los paréntesis: número multiplicando paréntesis, paréntesis multiplicando paréntesis, paréntesis dentro de paréntesis... Secundaria. ESO. Álgebra. Matemáticas.

Tenemos dos opciones:

  • Podemos empezar eliminando el paréntesis de dentro, lo cual se consigue multiplicando sus sumandos por 3:

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  • También, podemos empezar eliminando el paréntesis de fuera, lo cual se consigue multiplicando sus sumandos por 2:

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Paréntesis por paréntesis

Puede darse el caso de que un paréntesis multiplique a otro.

Por ejemplo,

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En estos casos, tenemos dos opciones:

  • Calcular las operaciones de ambos paréntesis y multiplicar los resultados:

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  • Multiplicar todos los sumandos de un paréntesis por el otro paréntesis:

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Ambas opciones son correctas, pero normalmente tenemos que usar la segunda opción porque no podemos operar dentro del paréntesis. Por ejemplo,

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Paréntesis con un signo negativo delante

El signo negativo delante del paréntesis cambia los signos de los sumandos del paréntesis.

 

Lo que hace el signo negativo delante del paréntesis es cambiar los signos de los sumandos que contiene (puesto que se multiplican por -1). Por ejemplo,

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Lo mismo ocurre cuando delante del paréntesis hay un número con signo negativo, el cuál multiplica a todo el paréntesis cambiando los signos:

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Paréntesis con un número delante

Cuando un número multiplica a un paréntesis, podemos proceder de dos formas:

  • Realizar las operaciones del paréntesis y multiplicar después. Por ejemplo,

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  • Multiplicar dicho número por todos los sumandos que contiene el paréntesis. Por ejemplo,

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Ambas opciones son correctas y se obtiene el mismo resultado. No obstante, en ocasiones nos vemos obligados a la segunda opción por no poder realizar las operaciones del paréntesis. Por ejemplo,

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Si en lugar de una multiplicación tenemos una división, se procede del mismo modo. Por ejemplo,

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O bien,

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Si el número que multiplica o divide a un paréntesis en negativo, tenemos que tenerlo en cuenta al eliminar el paréntesis:

El signo negativo cambia los signos de los sumandos del paréntesis.

Ejemplo:

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¿Por qué lo que suma pasa al otro lado restando?

Cuando resolvemos una ecuación, los números que están sumando pasan restando al otro lado de la igualdad; y los que están restando pasan al otro lado sumando.

Por ejemplo,

Explicamos por qué los números que suman en un lado de la igualdad pasan al otro lado restando. Con ejemplos y ecuaciones. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Pero ¿por qué  esto es correcto? 

Para que una igualdad sea cierta, lo que hay a los dos lados del signo “=” debe ser lo mismo o tener el mismo resultado.

Por ejemplo,

Explicamos por qué los números que suman en un lado de la igualdad pasan al otro lado restando. Con ejemplos y ecuaciones. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Si queremos sumar 1 en el lado izquierdo, tenemos que hacerlo también en el lado derecho para mantener la igualdad:

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Ocurre lo mismo si queremos restar:

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Y, también, si queremos multiplicar (o dividir):

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Supongamos que tenemos la siguiente igualdad:

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Por lo dicho anteriormente, podemos restar 1 en ambos lados y la igualdad se mantiene:

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Los dos 1 del lado izquierdo se cancelan:

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Resumiendo, hemos partido de la igualdad 2+1 = 3 y hemos llegado a la igualdad 2 = 3 -1. Es decir,

Explicamos por qué los números que suman en un lado de la igualdad pasan al otro lado restando. Con ejemplos y ecuaciones. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Por tanto, podemos decir que lo que suma en un lado puede pasar al otro lado restando.

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¿El 0 es par? ¿Por qué?

Para ver que el número 0 es par, debemos recordar los conceptos y propiedades de los números pares y los números impares.

Número par

Los números pares son los números enteros que son múltiplos de 2, es decir, los números que se obtienen al multiplicar otro número por 2.

Ejemplo: el 2, el 4 y el 6 son pares porque

El número 0 es un número par y explicamos el porqué: cumple la definición de número par y las propiedades de los números pares. Números enteros, números pares y números impares. Con ejemplos. Secundaria. Bachillerato. Matemáticas.

 

Los números pares también se definen como los números divisibles entre 2, es decir, como los números cuya división entre 2 tienen como resultado un número entero.

Ejemplos

  • El 8 y el 10 son pares porque se obtiene un entero al dividirlos entre 2:

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  • El 3 y el 5 no son pares porque se obtienen decimales al dividirlos entre 2:

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Propiedad

Si un número a es par, existe algún número entero n tal que

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Ejemplos

  • El número 1234 es par y se puede escribir como

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  • El número 1010 es par y se puede escribir como

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Número impar

Los números impares son los números enteros que no son pares.

 

Ejemplos

Como 1, 3 y 5 no son divisibles entre 2 (el resultado no es un número entero), son números impares.

Propiedad

Si un número a es impar, entonces existe algún número entero n tal que

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Ejemplos

  • El número 123 es impar y se puede escribir como

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  • El número 101 es impar y se puede escribir como

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El número 0 es par

El número 0 es par porque es múltiplo de 2:

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Además, la división 0 entre 2 es un número entero:

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Además, si 0 fuese un número impar, debería existir un número entero n tal que

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Pero, si resolvemos la ecuación anterior, tenemos que n ha de ser un número no entero:

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¿Dividir entre 0 da infinito?

Es frecuente escuchar a gente decir que el resultado de dividir entre 0 es infinito.  Sin embargo, esto no es correcto: no se puede dividir entre 0 y, en los supuestos casos en que “se puede”, el resultado no sería siempre infinito.  A continuación, mostramos explicamos el por qué y el origen de este falso mito.

Se dice que el resultado es infinito porque cuanto más se acerca el divisor a 0, más grande es el resultado de la división. Por ejemplo,

  • 1 entre 2 es 0,5
  • 1 entre 1 es 1
  • 1 entre 0,5 es 2
  • 1 entre 0,3  es 3,3333…
  • 1 entre 0,1 es 10
  • 1 entre 0,01 es 100
  • 1 entre 0,001 es 1.000
  • 1 entre 0,0001 es 10.000

En el cálculo diferencial, dada una función y = f(x), el límite de dicha función en el punto x = a se denota por

Mostramos algunos ejemplos de contradicciones que se obtienen al asumir que se puede dividir entre 0. También, hablamos sobre el falso mito de que dividir entre cero tiene resultado infinito y su origen. Secundaria. Bachillerato. Matemáticas.

Y puede verse como el número al que se aproxima la función y = f(x) cuando x se aproxima a x = a.

 

Por ejemplo, consideremos la función f(x) = 2/x² cuya gráfica es la siguiente:

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Observando la gráfica se aprecia claramente que cuando x se aproxima a  0 los valores y = f(x) crecen mucho. Por ejemplo,

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La función y = f(x) crece infinitamente cuando x se aproxima a 0, por lo que se dice que la función tiene límite infinito:

Mostramos algunos ejemplos de contradicciones que se obtienen al asumir que se puede dividir entre 0. También, hablamos sobre el falso mito de que dividir entre cero tiene resultado infinito y su origen. Secundaria. Bachillerato. Matemáticas.

 

El cálculo de límites a veces resulta un poco complicado, razón por la que se utilizan ciertas reglas que SÓLO tienen sentido cuando trabajamos con límites. Una de estas reglas es que un número distinto de 0 dividido entre 0 es infinito. Por ejemplo, usamos esta regla para calcular el límite anterior:

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Nota: técnicamente, la igualdad anterior no es correcta (por eso se escribe en rojo).

 

Veamos otro ejemplo:

Mostramos algunos ejemplos de contradicciones que se obtienen al asumir que se puede dividir entre 0. También, hablamos sobre el falso mito de que dividir entre cero tiene resultado infinito y su origen. Secundaria. Bachillerato. Matemáticas.

Es importante remarcar que esta regla exige que sea un número DISTINTO de 0 dividido entre 0, ya que 0/0 es una indeterminación (indeterminación 0/0) que en cada límite puede tener un resultado distinto.

Por ejemplo,

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Y, sin embargo, si sustituimos x = 0 en los límites, tenemos la fracción 0/0:

Mostramos algunos ejemplos de contradicciones que se obtienen al asumir que se puede dividir entre 0. También, hablamos sobre el falso mito de que dividir entre cero tiene resultado infinito y su origen. Secundaria. Bachillerato. Matemáticas.

 

Conclusión

Como conclusión, el resultado de dividir entre cero no es infinito. De hecho, ni siquiera está permitida la operación “dividido entre 0”, como hemos visto. Ahora bien, en el cálculo diferencial se utiliza la regla “un número entre 0 es infinito” sólo para referirse a que el resultado de dividir entre números cercanos a cero es un número muy grande.

Más ejemplos y temas relacionados: 

 

¿Se puede dividir entre 0?

Aunque pueda pensarse que tendría sentido la división entre cero, esta operación no es posible matemáticamente porque conduce a contradicciones matemáticas, como muestran algunos ejemplos que proporcionamos a continuación.

Ejemplo 1

Partiendo de la igualdad a = 0, sumando 1  y  dividiendo entre a en ambos lados, obtenemos una contradicción:

Mostramos algunos ejemplos de contradicciones que se obtienen al asumir que se puede dividir entre 0. También, hablamos sobre el falso mito de que dividir entre cero tiene resultado infinito y su origen. Secundaria. Bachillerato. Matemáticas.

Esta contradicción surge en la cuarta igualdad, cuando hemos dividido entre a = 0.

 

Ejemplo 2

La división de números reales a/b es el único número real c tal que a = b·c, es decir,

Mostramos algunos ejemplos de contradicciones que se obtienen al asumir que se puede dividir entre 0. También, hablamos sobre el falso mito de que dividir entre cero tiene resultado infinito y su origen. Secundaria. Bachillerato. Matemáticas.

Si suponemos que b puede ser 0,  entonces tenemos que para cualquier número a existe un único número c tal que a = b·c = 0·c = 0, lo que significa que cualquier número real, a, es igual a 0, lo cual es falso.

 

Más ejemplos y temas relacionados: 

 

Cómo obtener la fórmula de (a + b)²

Recordad que para calcular el cuadrado de una suma tenemos una fórmula:

Explicamos cómo calcular el cuadrado de una suma y de una resta: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 y (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2. Con ejemplos y problemas resueltos. Álgebra. Matemáticas. Secundaria.

Ahora bien, si no recordamos dicha fórmula o queremos saber de dónde viene, sólo tenemos que realizar una multiplicación.

Como a² = a·a, podemos escribir el cuadrado de la suma como un producto:

Cuadrado y cubo de un binomio (suma y resta). Fórmulas, demostraciones y ejercicios resueltos. Álgebra. Matemáticas.

Observad que cada sumando del primer paréntesis debe multiplicar a cada uno del segundo. Además, hay que tener en cuenta que a·b = b·a

Del mismo modo podemos demostrar la fórmula para el cuadrado de la resta.

Más información y ejemplos en

 

Suma al cuadrado: (a +b)²

Como regla general, el cuadrado de la suma es distinto de la suma de los cuadrados. Es decir,

Explicamos cómo calcular el cuadrado de una suma y de una resta: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 y (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2. Con ejemplos y problemas resueltos. Álgebra. Matemáticas. Secundaria.

Por ejemplo, si a = 1 y b = 2, la suma de sus cuadrados y el cuadrado de su suma son distintos:

Explicamos cómo calcular el cuadrado de una suma y de una resta: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 y (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2. Con ejemplos y problemas resueltos. Álgebra. Matemáticas. Secundaria.

Para calcular el cuadrado de una suma disponemos de una sencilla fórmula:

Explicamos cómo calcular el cuadrado de una suma y de una resta: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 y (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2. Con ejemplos y problemas resueltos. Álgebra. Matemáticas. Secundaria.

Lo mismo ocurre cuando se trata de una resta:

Explicamos cómo calcular el cuadrado de una suma y de una resta: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 y (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2. Con ejemplos y problemas resueltos. Álgebra. Matemáticas. Secundaria.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Explicamos cómo calcular el cuadrado de una suma y de una resta: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 y (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2. Con ejemplos y problemas resueltos. Álgebra. Matemáticas. Secundaria.

Ejemplo 2

Explicamos cómo calcular el cuadrado de una suma y de una resta: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 y (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2. Con ejemplos y problemas resueltos. Álgebra. Matemáticas. Secundaria.

Ejemplo 3

Explicamos cómo calcular el cuadrado de una suma y de una resta: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 y (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2. Con ejemplos y problemas resueltos. Álgebra. Matemáticas. Secundaria.

Más ejemplos en