Operaciones con paréntesis

Los paréntesis sirven para cambiar el orden de las operaciones agrupando partes de la expresión algebraica.

Un paréntesis también sirve para agrupar el conjunto de operaciones que contiene en su interior.

Ejemplo 1: si hay un número multiplicando a un paréntesis, dicho número debe multiplicar a todos los sumandos de su interior:

2·(3-x) = 2·3 – 2x = 6-2x

Ejemplo 2: otra opción es realizar primero las operaciones de dentro del paréntesis:

Explicamos el orden de prioridad en las operaciones aritméticas básicas (multiplicación, división, suma y resta) y cómo alterarlo con el uso de paréntesis. Con ejemplos y problemas resueltos. Secundaria. ESO. Álgebra básica.

Si quitamos el paréntesis, cambia el orden de las operaciones y, por tanto, su resultado:

3 + 4·2 -1 = 3 + 8 – 1 = 10 ≠ 7

Ejemplo 3:

Explicamos el orden de prioridad en las operaciones aritméticas básicas (multiplicación, división, suma y resta) y cómo alterarlo con el uso de paréntesis. Con ejemplos y problemas resueltos. Secundaria. ESO. Álgebra básica.

Ejemplo 4:

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Ejemplo 5:

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Más ejemplos en:

¿Por qué hay fracciones distintas que son iguales?

Hay fracciones que tienen numerador y denominador distintos y, sin embargo, son iguales. Esto se debe a que representan al mismo número o fracción. Es fácil de comprender con una representación:

Definiciones y conceptos de fracciones equivalentes y fracción irreductible. Veremos cómo saber si las fracciones son equivalentes y cómo calcular la fracción irreductible de una fracción. Con ejemplos y problemas explicados paso a paso. Secundaria. ESO

Cuando hablamos, también usamos fracciones equivalentes. Por ejemplo, las siguientes expresiones significan lo mismo:

  • La mitad.
  • Uno de cada dos.
  • El 50%.

Una forma de comprobar que dos fracciones son iguales o equivalentes es calcular la división que representan (numerador divido entre denominador). El cociente de la división tiene que ser el mismo.

Por ejemplo,  las fracciones 14/16 y 21/24 son equivalentes:

Definiciones y conceptos de fracciones equivalentes y fracción irreductible. Veremos cómo saber si las fracciones son equivalentes y cómo calcular la fracción irreductible de una fracción. Con ejemplos y problemas explicados paso a paso. Secundaria. ESO

Se pueden obtener fracciones equivalentes multiplicando el numerador y el denominador por el mismo número. Por ejemplo,

Definiciones y conceptos de fracciones equivalentes y fracción irreductible. Veremos cómo saber si las fracciones son equivalentes y cómo calcular la fracción irreductible de una fracción. Con ejemplos y problemas explicados paso a paso. Secundaria. ESO

 

Dada una fracción, su fracción irreducible equivalente es la fracción equivalente cuyos numerador y denominador son lo más pequeños posible.

Por ejemplo, la fracción irreducible de 180/270 es la fracción 2/3.

Una forma de obtener la fracción irreducible de una fracción dada es dividir el numerador y denominador entre su máximo común divisor (MCD).

Por ejemplo, el MCD de 180 y 270 es 90, por tanto, la fracción irreducible es

Definiciones y conceptos de fracciones equivalentes y fracción irreductible. Veremos cómo saber si las fracciones son equivalentes y cómo calcular la fracción irreductible de una fracción. Con ejemplos y problemas explicados paso a paso. Secundaria. ESO

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Raíz cuadrada de una multiplicación

La raíz cuadrada de un producto de factores es igual al producto de las raíces cuadradas de los factores:

Explicamos la propiedad del producto de raíces cuadradas, la del cuadrado de una raíz cuadrada y la de la raíz cuadrada de un cuadrado. También, resolvemos algunos problemas relacionados. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 por la de 3 es la raíz cuadrada de 6:

Explicamos la propiedad del producto de raíces cuadradas, la del cuadrado de una raíz cuadrada y la de la raíz cuadrada de un cuadrado. También, resolvemos algunos problemas relacionados. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Como consecuencia,

La raíz cuadrada desaparece al elevar al cuadrado:

Explicamos la propiedad del producto de raíces cuadradas, la del cuadrado de una raíz cuadrada y la de la raíz cuadrada de un cuadrado. También, resolvemos algunos problemas relacionados. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Además, de lo anterior se tiene que

Se puede introducir o extraer el cuadrado en una raíz cuadrada:

Explicamos la propiedad del producto de raíces cuadradas, la del cuadrado de una raíz cuadrada y la de la raíz cuadrada de un cuadrado. También, resolvemos algunos problemas relacionados. Secundaria. ESO. Matemáticas.

 Por ejemplo,

Explicamos la propiedad del producto de raíces cuadradas, la del cuadrado de una raíz cuadrada y la de la raíz cuadrada de un cuadrado. También, resolvemos algunos problemas relacionados. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Ejemplo 1 del uso de estas propiedades para calcular raíces:

Explicamos la propiedad del producto de raíces cuadradas, la del cuadrado de una raíz cuadrada y la de la raíz cuadrada de un cuadrado. También, resolvemos algunos problemas relacionados. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Ejemplo 2

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¿Existe la raíz cuadrada de un número negativo?

Sí, existe la raíz cuadrada de un número negativo.

La unidad imaginaria se denota por i y se define como la raíz cuadrada de -1:

¿Existe la raíz cuadrada de un número negativo? Recordamos los conceptos de cuadrado y raíz cuadrada de un número y la propiedad del producto de raíces para poder definir los números imaginarios como raíces de números negativos. También, resolvemos algunas ecuaciones de segundo grado. Secundaria. Bachillerato. Álgebra. Matemáticas.

El cuadrado de la unidad imaginaria es -1:

¿Existe la raíz cuadrada de un número negativo? Recordamos los conceptos de cuadrado y raíz cuadrada de un número y la propiedad del producto de raíces para poder definir los números imaginarios como raíces de números negativos. También, resolvemos algunas ecuaciones de segundo grado. Secundaria. Bachillerato. Álgebra. Matemáticas.

Con la invención del número imaginario ya podemos trabajar con raíces cuadradas de números negativos (nos ayudaremos de la propiedad del producto de raíces).

Veamos algunos ejemplos:

  • Raíces cuadradas de -4:

¿Existe la raíz cuadrada de un número negativo? Recordamos los conceptos de cuadrado y raíz cuadrada de un número y la propiedad del producto de raíces para poder definir los números imaginarios como raíces de números negativos. También, resolvemos algunas ecuaciones de segundo grado. Secundaria. Bachillerato. Álgebra. Matemáticas.

  • Raíces cuadradas de -25:

¿Existe la raíz cuadrada de un número negativo? Recordamos los conceptos de cuadrado y raíz cuadrada de un número y la propiedad del producto de raíces para poder definir los números imaginarios como raíces de números negativos. También, resolvemos algunas ecuaciones de segundo grado. Secundaria. Bachillerato. Álgebra. Matemáticas.

Observad que, entonces, sí hay números cuyo cuadrado es negativo: los números imaginarios.

Por ejemplo,

¿Existe la raíz cuadrada de un número negativo? Recordamos los conceptos de cuadrado y raíz cuadrada de un número y la propiedad del producto de raíces para poder definir los números imaginarios como raíces de números negativos. También, resolvemos algunas ecuaciones de segundo grado. Secundaria. Bachillerato. Álgebra. Matemáticas.

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¿Qué es el valor absoluto?

El valor absoluto de un número a se escribe como |a| y es el número sin signo.

Por ejemplo,

  • |-2| = 2
  • |3| = 3
  • |-5| = 5
  • |-0.5| = 0.5
  • |0| = 0

Se puede definir el valor absoluto como una función definida a trozos:

Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.

Es decir, el valor absoluto de x es igual a x si x es mayor o igual que 0, y es -x si x es negativo.

La gráfica de la función valor absoluto es

Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.

El recorrido de esta función es el conjunto de los reales positivos (incluyendo al 0).

Veamos algunas propiedades sencillas del valor absoluto:

  • El valor absoluto de un número es siempre no negativo:

Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.

  • El valor absoluto de un número x es 0 si, y sólo si, x = 0:

Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.

  • El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos de sus factores:

Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.

  • Lo mismo para el cociente:

Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.

  • Valor absoluto del opuesto:

Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.

  • Igualdad entre valores absolutos:

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¿Qué es una inecuación?

Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas con una o varias incógnitas.

Los signos de desigualdad posibles son cuatro: <, ≤, > y  ≥.  Significado:

  • a < b significa que a es menor que b. Por ejemplo, 2 < 3.
  • a ≤ b significa que a es menor o igual que b. Por ejemplo, 2 ≤ 3.
  • a > b significa que a es mayor que b. Por ejemplo, 3 > 2.
  • a b significa que a es mayor o igual que b. Por ejemplo, 2 ≥ 2.

En este post veremos sólo inecuaciones con una sólo incógnita: x.

Ejemplo 1 : 

La solución o soluciones de esta inecuación son los números que al restarle 2 son mayor que 1. Esto ocurre con cualquier número mayor o igual que 3. Por tanto, las soluciones de la inecuación son los número x tales que x > 3.

Otra forma de expresar la solución es en forma de intervalo:

Explicamos qué son las inecuaciones y cómo resolverlas, desde inecuaciones sencillas a otras más difíciles. Ecuaciones simples, con fracciones y con polinomios de segundo grado. Álgebra. Matemáticas. Inecuaciones resueltas.

Representación en la recta real:

Explicamos qué son las inecuaciones y cómo resolverlas, desde inecuaciones sencillas a otras más difíciles. Ecuaciones simples, con fracciones y con polinomios de segundo grado. Álgebra. Matemáticas. Inecuaciones resueltas.

Al igual que en las ecuaciones, los sumandos de las inecuaciones pueden pasar al otro lado cambiando su signo.

Ejemplo 2 : 

Explicamos qué son las inecuaciones y cómo resolverlas, desde inecuaciones sencillas a otras más difíciles. Ecuaciones simples, con fracciones y con polinomios de segundo grado. Álgebra. Matemáticas. Inecuaciones resueltas.

Como la x está restando, puede pasar al otro lado sumando:

Explicamos qué son las inecuaciones y cómo resolverlas, desde inecuaciones sencillas a otras más difíciles. Ecuaciones simples, con fracciones y con polinomios de segundo grado. Álgebra. Matemáticas. Inecuaciones resueltas.

El 2 pasa al otro lado restando:

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La solución de la inecuación es x ≤ 1, o bien,

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Representación:

Explicamos qué son las inecuaciones y cómo resolverlas, desde inecuaciones sencillas a otras más difíciles. Ecuaciones simples, con fracciones y con polinomios de segundo grado. Álgebra. Matemáticas. Inecuaciones resueltas.

 

Los coeficientes de la también pueden pasar al otro lado como en las ecuaciones, pero tenemos que cambiar el signo de desigualdad si el número es negativo.

 

Ejemplo 3: 

Explicamos qué son las inecuaciones y cómo resolverlas, desde inecuaciones sencillas a otras más difíciles. Ecuaciones simples, con fracciones y con polinomios de segundo grado. Álgebra. Matemáticas. Inecuaciones resueltas.

Pasamos el 2 al otro lado:

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Pasamos el 3x de la derecha al otro lado:

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El coeficiente de la x es -2. Puede pasar al otro lado dividiendo, pero tenemos que cambiar el signo de desigualdad porque el -2 es negativo (de menor o igual a mayor o igual):

Explicamos qué son las inecuaciones y cómo resolverlas, desde inecuaciones sencillas a otras más difíciles. Ecuaciones simples, con fracciones y con polinomios de segundo grado. Álgebra. Matemáticas. Inecuaciones resueltas.

La solución de la inecuación es x ≥ -7/2.

Representación:

Explicamos qué son las inecuaciones y cómo resolverlas, desde inecuaciones sencillas a otras más difíciles. Ecuaciones simples, con fracciones y con polinomios de segundo grado. Álgebra. Matemáticas. Inecuaciones resueltas.

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Ejemplos de continuidad de funciones racionales

Vimos en continuidad de funciones que una una función racional es continua en los reales que no anulan su denominador. A continuación vamos a ver varios ejemplos.

Ejemplo 1

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Como es una función racional, el dominio es el conjunto de los reales excepto donde se anula el denominador. Para hallar estos puntos, igualamos el denominador a 0 y resolvemos la ecuación:

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Por tanto, el dominio es el conjunto de los reales excepto en los puntos -3 y 3. La función es continua en todo su dominio.

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Ejemplo 2

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Observaciones:

  • El radicando de la raíz debe ser no negativo.
  • El denominador tiene que ser distinto de 0.

Igualamos el radicando a 0:

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Hay que estudiar el signo del radicando los intervalos siguientes:

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Dando valores, el radicando es no negativo en el primer y tercer intervalo.

Factorizamos el denominador:

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Aplicamos la regla de Ruffini para hallar las soluciones del polinomio de tercer grado:

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Por tanto,

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Tenemos que excluir los puntos 0, 1 y -1 del dominio.

El dominio es el conjunto de los reales excepto el intervalo [-1, 1]. La función es continua en su dominio.

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

 

Más ejemplos en

Suma y resta de enteros

Suma de números enteros

Si los dos enteros a sumar tienen el mismo signo, se suman los números (sin signo) y se conserva el signo.

Ejemplo 1

Sumamos los enteros +3 y +5:

Explicamos las operaciones básicas con números enteros (suma, resta, multiplicación y división) y proporcionamos algunos ejemplos y ejercicios de operaciones combinadas. ESO. Álgebra básica. Matemáticas.

Sumamos los enteros -3 y -5:

Explicamos las operaciones básicas con números enteros (suma, resta, multiplicación y división) y proporcionamos algunos ejemplos y ejercicios de operaciones combinadas. ESO. Álgebra básica. Matemáticas.

Si los dos enteros tienen signos distintos, se restan los números (sin signo) y se conserva el signo del número que sea mayor (sin signo).

Ejemplo 2

Sumamos los enteros +4 y -5:

Explicamos las operaciones básicas con números enteros (suma, resta, multiplicación y división) y proporcionamos algunos ejemplos y ejercicios de operaciones combinadas. ESO. Álgebra básica. Matemáticas.

Sumamos los enteros -3 y +5:

Explicamos las operaciones básicas con números enteros (suma, resta, multiplicación y división) y proporcionamos algunos ejemplos y ejercicios de operaciones combinadas. ESO. Álgebra básica. Matemáticas.

Resta de números enteros

Cuando tenemos una resta de enteros, podemos transformarla en una suma cambiando el signo del segundo sumando.

Ejemplo 4

Restamos los enteros 4 y -5:

Explicamos las operaciones básicas con números enteros (suma, resta, multiplicación y división) y proporcionamos algunos ejemplos y ejercicios de operaciones combinadas. ESO. Álgebra básica. Matemáticas.

Restamos los enteros -5 y -7:

Explicamos las operaciones básicas con números enteros (suma, resta, multiplicación y división) y proporcionamos algunos ejemplos y ejercicios de operaciones combinadas. ESO. Álgebra básica. Matemáticas.

Restamos los enteros -3 y 7:

Explicamos las operaciones básicas con números enteros (suma, resta, multiplicación y división) y proporcionamos algunos ejemplos y ejercicios de operaciones combinadas. ESO. Álgebra básica. Matemáticas.

Más ejemplos y temas relacionados:

¿Para qué sirven las Ecuaciones?

Escribimos este post ya que muchos estudiantes se preguntan para qué aprender a resolver ecuaciones. Un ejemplo de la utilidad de las ecuaciones es la resolución de problemas que aparecen en nuestra vida cotidiana.

Veamos un ejemplo de problema práctico:

Problema

Queremos diseñar una habitación de 18 metros cuadrados con forma rectangular de modo que el largo de la misma sea el doble que el ancho.

Solución

  • Llamamos al ancho de la habitación.
  • Como el largo tiene que ser el doble del ancho, el largo es 2·x. 
  • El área de un rectángulo es el producto del ancho por el largo:

Área = x·2·x = 2·x2

Como el área tiene que ser 18, tenemos la ecuación

18 =2·x2

La ecuación que tenemos es una ecuación de segundo grado incompleta. Esta ecuación tiene dos soluciones: x = 3 x = -3. 

La solución del problema es la solución positiva porque la incógnita x representa una longitud.

Por tanto, el largo de la habitación debe ser 6 metros y el ancho debe ser 3 metros. El área es 3·6 = 18 m2.

 

¡Ahora ya no tenéis excusa para pensar que las ecuaciones no sirven para nada!

Más ejemplos de problemas prácticos: