¿Dividir entre 0 da infinito?

Es frecuente escuchar a gente decir que el resultado de dividir entre 0 es infinito.  Sin embargo, esto no es correcto: no se puede dividir entre 0 y, en los supuestos casos en que “se puede”, el resultado no sería siempre infinito.  A continuación, mostramos explicamos el por qué y el origen de este falso mito.

Se dice que el resultado es infinito porque cuanto más se acerca el divisor a 0, más grande es el resultado de la división. Por ejemplo,

  • 1 entre 2 es 0,5
  • 1 entre 1 es 1
  • 1 entre 0,5 es 2
  • 1 entre 0,3  es 3,3333…
  • 1 entre 0,1 es 10
  • 1 entre 0,01 es 100
  • 1 entre 0,001 es 1.000
  • 1 entre 0,0001 es 10.000

En el cálculo diferencial, dada una función y = f(x), el límite de dicha función en el punto x = a se denota por

Mostramos algunos ejemplos de contradicciones que se obtienen al asumir que se puede dividir entre 0. También, hablamos sobre el falso mito de que dividir entre cero tiene resultado infinito y su origen. Secundaria. Bachillerato. Matemáticas.

Y puede verse como el número al que se aproxima la función y = f(x) cuando x se aproxima a x = a.

 

Por ejemplo, consideremos la función f(x) = 2/x² cuya gráfica es la siguiente:

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Observando la gráfica se aprecia claramente que cuando x se aproxima a  0 los valores y = f(x) crecen mucho. Por ejemplo,

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La función y = f(x) crece infinitamente cuando x se aproxima a 0, por lo que se dice que la función tiene límite infinito:

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El cálculo de límites a veces resulta un poco complicado, razón por la que se utilizan ciertas reglas que SÓLO tienen sentido cuando trabajamos con límites. Una de estas reglas es que un número distinto de 0 dividido entre 0 es infinito. Por ejemplo, usamos esta regla para calcular el límite anterior:

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Nota: técnicamente, la igualdad anterior no es correcta (por eso se escribe en rojo).

 

Veamos otro ejemplo:

Mostramos algunos ejemplos de contradicciones que se obtienen al asumir que se puede dividir entre 0. También, hablamos sobre el falso mito de que dividir entre cero tiene resultado infinito y su origen. Secundaria. Bachillerato. Matemáticas.

Es importante remarcar que esta regla exige que sea un número DISTINTO de 0 dividido entre 0, ya que 0/0 es una indeterminación (indeterminación 0/0) que en cada límite puede tener un resultado distinto.

Por ejemplo,

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Y, sin embargo, si sustituimos x = 0 en los límites, tenemos la fracción 0/0:

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Conclusión

Como conclusión, el resultado de dividir entre cero no es infinito. De hecho, ni siquiera está permitida la operación “dividido entre 0”, como hemos visto. Ahora bien, en el cálculo diferencial se utiliza la regla “un número entre 0 es infinito” sólo para referirse a que el resultado de dividir entre números cercanos a cero es un número muy grande.

Más ejemplos y temas relacionados: 

 

Teorema del sándwich o del emparedado

El teorema del sándwich establece que si una función f(x) se encuentra entre dos funciones g(x) y h(x), es decir,

Y los límites de g(x) y de h(x) existen y son iguales, entonces el límite de f(x) también existe y coincide con el de g(x) y el de h(x).

 

Veamos un par de ejemplos de la importancia del teorema del sándwich en la práctica demostrando límites.

Ejemplo 1

el límite de sin(x)/x es 0

En principio, este límite no es sencillo de calcular, puesto que la función seno es una función periódica que toma valores en el intervalo [-1, 1], por lo que el límite cuando x tiende a infinito es indeterminado.

Así, pues, vamos a acotar la función sin(x)/x entre dos funciones con límite.

Como el seno toma valores entre -1 y 1, podemos escribir

Dividimos entre x:

Ya tenemos la función acotada entre dos funciones (siempre que x sea mayor que 0) y estas funciones tienen límite cuando x tiende a infinito y es 0.

Por tanto, la función sin(x)/x también tiene límite y es 0:

Ejemplo 2 

El coseno es una función periódica con valores en el intervalo [-1, 1], aunque existe su límite cuando x tiende a 0 y es cos(0) = 1. Sin embargo, en la función del límite el argumento del coseno es 1/x, el cual tiende a infinito cuando x tiende a 0. Además, el coseno del límite está además multiplicado por x.

A pesar de todo esto, el límite es sencillo de calcular mediante el teorema del sándwich. Acotamos el coseno:

Supongamos que x>0, entonces

Por el teorema del emparedado,

Enunciamos y demostramos el teorema del emparedado para funciones, series y sucesiones. Límite de una función (serie o sucesión) comprendida entre otras dos. Ejemplos de aplicación. Teorema del emparedado, del sándwich, de encaje o del bocadillo. Bachillerato y Universidad. Matemáticas. Análisis de una variable.

Ahora, hacemos lo mismo suponiendo que x<0:

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Por el teorema del emparedado,

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Como los límites laterales coinciden,

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Gráfica de la función:

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Más ejemplos en Teorema del emparedado o del sándwich.

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