{"id":260,"date":"2018-10-16T13:41:52","date_gmt":"2018-10-16T12:41:52","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/?page_id=260"},"modified":"2019-06-13T09:21:20","modified_gmt":"2019-06-13T08:21:20","slug":"progresion-geometrica","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/progresiones-o-sucesiones\/progresion-geometrica\/","title":{"rendered":"Progresi\u00f3n geom\u00e9trica"},"content":{"rendered":"<p style=\"text-align: justify\">Una\u00a0<strong>sucesi\u00f3n geom\u00e9trica<\/strong>\u00a0(o\u00a0<strong>progresi\u00f3n geom\u00e9trica<\/strong>) es una\u00a0<a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/sucesion-aritmetica-formulas-ejemplos-problemas-resueltos.html\">sucesi\u00f3n<\/a>\u00a0en la que cada t\u00e9rmino <strong><em>a<sub>n<\/sub><\/em><\/strong> se obtiene multiplicando al t\u00e9rmino anterior <strong><em>a<sub>n-1<\/sub><\/em><\/strong> por un n\u00famero <strong><em>r<\/em><\/strong> llamado\u00a0<strong>raz\u00f3n<\/strong>.<\/p>\n<p><strong>Ejemplos:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>La sucesi\u00f3n 2, 4, 8, 16, 32,&#8230; es geom\u00e9trica con raz\u00f3n <em>r = 2:<\/em><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/progresiones\/progresion-aritmetica-geometrica-sucesion-diferencia-razon-termino-general-problemas-resueltos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/geometricas\/T2.png\" alt=\"\" width=\"145\" height=\"115\" \/><\/a><\/li>\n<li>La sucesi\u00f3n 1, -3, 9, -27, 81,&#8230; es geom\u00e9trica con raz\u00f3n <em>r = -3<\/em>.<\/li>\n<\/ul>\n<h2><strong>Raz\u00f3n<\/strong><\/h2>\n<p>La raz\u00f3n se calcula dividiendo t\u00e9rminos consecutivos:<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/progresiones\/progresion-aritmetica-geometrica-sucesion-diferencia-razon-termino-general-problemas-resueltos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/geometricas\/T4.png\" alt=\"\" width=\"85\" height=\"47\" \/><\/a><\/p>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong><\/p>\n<p>Calculamos la raz\u00f3n de la siguiente sucesi\u00f3n geom\u00e9trica:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/progresiones\/progresion-aritmetica-geometrica-sucesion-diferencia-razon-termino-general-problemas-resueltos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"sucesi\u00f3n geom\u00e9trica 5, 15, 45, 135,...\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/geometricas\/T5.png\" alt=\"Introducci\u00f3n a las sucesiones geom\u00e9tricas: concepto, f\u00f3rmulas y problemas resueltos de progresiones geom\u00e9tricas. Secundaria, ESO y Bachillerato. \" width=\"89\" height=\"116\" \/><\/a><\/p>\n<p>Dividimos el segundo t\u00e9rmino entre el primero:<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"calculamos la raz\u00f3n: r = 15\/5 = 3\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/geometricas\/T6.png\" alt=\"Introducci\u00f3n a las sucesiones geom\u00e9tricas: concepto, f\u00f3rmulas y problemas resueltos de progresiones geom\u00e9tricas. Secundaria, ESO y Bachillerato. \" \/><\/p>\n<p>Comprobamos que la raz\u00f3n es constante:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/progresiones\/progresion-aritmetica-geometrica-sucesion-diferencia-razon-termino-general-problemas-resueltos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"comprobamos que la raz\u00f3n se mantiene: 45\/15 = 135\/45 = 3\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/geometricas\/T7.png\" alt=\"Introducci\u00f3n a las sucesiones geom\u00e9tricas: concepto, f\u00f3rmulas y problemas resueltos de progresiones geom\u00e9tricas. Secundaria, ESO y Bachillerato. \" width=\"170\" height=\"117\" \/><\/a><\/p>\n<h2 style=\"text-align: left\" align=\"center\"><strong>T\u00e9rmino general<\/strong><\/h2>\n<p style=\"text-align: justify\">El\u00a0<strong>t\u00e9rmino general<\/strong>\u00a0de una sucesi\u00f3n geom\u00e9trica se calcula a partir del primer t\u00e9rmino <em><strong>a<sub>1<\/sub><\/strong><\/em> y de la raz\u00f3n <em><strong>r<\/strong><\/em>:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium aligncenter\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/geometricas\/T8.png\" width=\"132\" height=\"24\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify\">El t\u00e9rmino general permite calcular cualquier t\u00e9rmino de la sucesi\u00f3n sin necesidad de calcular los anteriores.<\/p>\n<p style=\"text-align: left\" align=\"center\"><strong>Ejemplo:<\/strong><\/p>\n<p>Calculamos el t\u00e9rmino general de la siguiente progresi\u00f3n geom\u00e9trica:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/progresiones\/progresion-aritmetica-geometrica-sucesion-diferencia-razon-termino-general-problemas-resueltos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"sucesi\u00f3n geom\u00e9trica 8, 24, 72, 216,...\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/geometricas\/T9.png\" alt=\"Introducci\u00f3n a las sucesiones geom\u00e9tricas: concepto, f\u00f3rmulas y problemas resueltos de progresiones geom\u00e9tricas. Secundaria, ESO y Bachillerato. \" width=\"89\" height=\"115\" \/><\/a><\/p>\n<p>La raz\u00f3n de la sucesi\u00f3n es\u00a0<span id=\"MathJax-Element-9-Frame\" class=\"mjx-chtml MathJax_CHTML\" style=\"line-height: 0;text-indent: 0px;text-align: left;font-style: normal;font-weight: normal;font-size: 16.16px;letter-spacing: normal;float: none;direction: ltr;max-width: none;max-height: none;min-width: 0px;min-height: 0px;border: 0px;margin: 0px;padding: 1px 0px\" role=\"presentation\"><span id=\"MJXc-Node-37\" class=\"mjx-math\"><span id=\"MJXc-Node-38\" class=\"mjx-mrow\"><span id=\"MJXc-Node-39\" class=\"mjx-mi\"><span class=\"mjx-char MJXc-TeX-math-I\">r<\/span><\/span><span id=\"MJXc-Node-40\" class=\"mjx-mo MJXc-space3\"><span class=\"mjx-char MJXc-TeX-main-R\">=<\/span><\/span><span id=\"MJXc-Node-41\" class=\"mjx-mn MJXc-space3\"><span class=\"mjx-char MJXc-TeX-main-R\">3<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>\u00a0ya que<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"calculamos la raz\u00f3n dividiendo t\u00e9rminos consecutivos: r = 3\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/geometricas\/T10.png\" alt=\"Introducci\u00f3n a las sucesiones geom\u00e9tricas: concepto, f\u00f3rmulas y problemas resueltos de progresiones geom\u00e9tricas. Secundaria, ESO y Bachillerato. \" \/><\/p>\n<p>El t\u00e9rmino general de la sucesi\u00f3n es<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"el t\u00e9rmino general de la sucesi\u00f3n 8, 24, 72, 216,... es a(n) = 8\u00b73^(n-1)\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/geometricas\/T11.png\" alt=\"Introducci\u00f3n a las sucesiones geom\u00e9tricas: concepto, f\u00f3rmulas y problemas resueltos de progresiones geom\u00e9tricas. Secundaria, ESO y Bachillerato. \" \/><\/p>\n<h2><strong>Suma de t\u00e9rminos<\/strong><\/h2>\n<p>Para sumar los primeros <em>n<\/em>\u00a0t\u00e9rminos de una progresi\u00f3n geom\u00e9trica disponemos de varias f\u00f3rmulas:<\/p>\n<p><strong>Primera f\u00f3rmula:<\/strong><\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/progresiones\/progresion-aritmetica-geometrica-sucesion-diferencia-razon-termino-general-problemas-resueltos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"f\u00f3rmula para sumar los n primeros t\u00e9rminos de una progresi\u00f3n geom\u00e9trica de raz\u00f3n r: S(n) = a(1)\u00b7(r^n - 1)\/(r - 1)\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/geometricas\/T13.png\" alt=\"Introducci\u00f3n a las sucesiones geom\u00e9tricas: concepto, f\u00f3rmulas y problemas resueltos de progresiones geom\u00e9tricas. Secundaria, ESO y Bachillerato. \" width=\"150\" height=\"47\" \/><\/a><\/p>\n<p><strong>Segunda f\u00f3rmula:<\/strong><\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"f\u00f3rmula 2 para sumar los n primeros t\u00e9rminos de una progresi\u00f3n geom\u00e9trica de raz\u00f3n r: S(n) = (a(n)\u00b7r - a(1))\/(r - 1)\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/geometricas\/T14.png\" alt=\"Introducci\u00f3n a las sucesiones geom\u00e9tricas: concepto, f\u00f3rmulas y problemas resueltos de progresiones geom\u00e9tricas. Secundaria, ESO y Bachillerato. \" \/><\/p>\n<p><strong>Nota:<\/strong>\u00a0la segunda f\u00f3rmula se ha calculado utilizando la f\u00f3rmula del t\u00e9rmino general en la primera f\u00f3rmula de la suma.<\/p>\n<h2><strong>Suma de todos los t\u00e9rminos<\/strong><\/h2>\n<p>Cuando la raz\u00f3n de la progresi\u00f3n es\u00a0<span id=\"MathJax-Element-18-Frame\" class=\"mjx-chtml MathJax_CHTML\" style=\"line-height: 0;text-indent: 0px;text-align: left;font-style: normal;font-weight: normal;font-size: 16.16px;letter-spacing: normal;float: none;direction: ltr;max-width: none;max-height: none;min-width: 0px;min-height: 0px;border: 0px;margin: 0px;padding: 1px 0px\" role=\"presentation\"><span id=\"MJXc-Node-82\" class=\"mjx-math\"><span id=\"MJXc-Node-83\" class=\"mjx-mrow\"><span id=\"MJXc-Node-84\" class=\"mjx-texatom\"><span id=\"MJXc-Node-85\" class=\"mjx-mrow\"><span id=\"MJXc-Node-86\" class=\"mjx-mo\"><span class=\"mjx-char MJXc-TeX-main-R\">|<\/span><\/span><\/span><\/span><span id=\"MJXc-Node-87\" class=\"mjx-mi\"><span class=\"mjx-char MJXc-TeX-math-I\">r<\/span><\/span><span id=\"MJXc-Node-88\" class=\"mjx-texatom\"><span id=\"MJXc-Node-89\" class=\"mjx-mrow\"><span id=\"MJXc-Node-90\" class=\"mjx-mo\"><span class=\"mjx-char MJXc-TeX-main-R\">|<\/span><\/span><\/span><\/span><span id=\"MJXc-Node-91\" class=\"mjx-mo MJXc-space3\"><span class=\"mjx-char MJXc-TeX-main-R\">&lt;<\/span><\/span><span id=\"MJXc-Node-92\" class=\"mjx-mn MJXc-space3\"><span class=\"mjx-char MJXc-TeX-main-R\">1<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>\u00a0se pueden sumar todos los t\u00e9rminos mediante la f\u00f3rmula<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/progresiones\/progresion-aritmetica-geometrica-sucesion-diferencia-razon-termino-general-problemas-resueltos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"f\u00f3rmula 2 para sumar todos los t\u00e9rminos de una progresi\u00f3n geom\u00e9trica con raz\u00f3n |r|&lt;1: S(\u221e) = a(1)\/(1 - r)\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/geometricas\/T15.png\" alt=\"Introducci\u00f3n a las sucesiones geom\u00e9tricas: concepto, f\u00f3rmulas y problemas resueltos de progresiones geom\u00e9tricas. Secundaria, ESO y Bachillerato. \" width=\"107\" height=\"42\" \/><\/a><\/p>\n<p><strong>Recursos de sucesiones<\/strong> (ejemplos y problemas resueltos):<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/test1\/test-online-preguntas-sucesion-progresion-arimetica-geometrica-basico.html\">Test b\u00e1sico de progresiones<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/convergente-divergente-oscilante-alternada-acotada-limite-creciente-decreciente-monotona-problemas-resueltos.html\">Tipos de progresiones<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/sucesion-aritmetica-formulas-ejemplos-problemas-resueltos.html\">Progresiones aritm\u00e9ticas<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/sucesion-geometrica-formulas-ejemplos-problemas-resueltos.html\">Progresiones geom\u00e9tricas<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/ejercicios-resueltos-sucesiones.html\">Problemas de progresiones aritm\u00e9ticas y geom\u00e9tricas<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/sucesion-Fibonacci-formulas-problemas-resueltos-suma-espiral-triangulo-Pascal.html\">La sucesi\u00f3n de Fibonacci<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/aritmeticas\/calculadoras\/calculadoras-online-sucesiones-aritmeticas-termino-general-diferencia-suma.html\">Calculadoras de progresiones aritm\u00e9ticas<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/geometricas\/calculadoras\/calculadoras-online-sucesiones-geometricas-termino-general-razon-suma.html\">Calculadoras de progresiones geom\u00e9tricas<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/operaciones-sucesiones-suma-diferencia-producto-cociente-limite-problemas-resueltos.html\">Operaciones entre sucesiones<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/calculo-limites-sucesiones-definicion-distancia-terminos-menor-mayor-problemas-resueltos.html\">L\u00edmites de sucesiones<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/subsucesion-sucesion-parcial-convergente-propiedades-ejemplos-limites-problemas-resueltos.html\">Subsucesiones o sucesiones parciales<\/a><\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/progresiones\/progresion-aritmetica-geometrica-sucesion-diferencia-razon-termino-general-problemas-resueltos.html\">Introducci\u00f3n a las progresiones<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/UNI\/progresiones\/criterios\/criterio-media-aritmetica-convergencia-sucesiones-ejemplos-demostracion-problemas.html\">Criterio de la media aritm\u00e9tica<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/UNI\/progresiones\/criterios\/criterio-media-geometrica-raiz-sucesiones-ejemplos-demostracion-problemas-sucesiones-convergencia.html\">Criterios de la media geom\u00e9trica y de la ra\u00edz<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/UNI\/progresiones\/criterios\/criterio-Stolz-cociente-convergencia-sucesiones-ejemplos-limites.html\">Criterio de Stolz<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/sucesiones-progresiones.html\">Sucesiones<\/a><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Una\u00a0sucesi\u00f3n geom\u00e9trica\u00a0(o\u00a0progresi\u00f3n geom\u00e9trica) es una\u00a0sucesi\u00f3n\u00a0en la que cada t\u00e9rmino an se obtiene multiplicando al t\u00e9rmino anterior an-1 por un n\u00famero r llamado\u00a0raz\u00f3n. Ejemplos: La sucesi\u00f3n 2, 4, 8, 16, 32,&#8230; es geom\u00e9trica con raz\u00f3n r = 2: La sucesi\u00f3n 1, -3, 9, -27, 81,&#8230; es geom\u00e9trica con raz\u00f3n r = -3. Raz\u00f3n La raz\u00f3n se &hellip; <\/p>\n<p class=\"link-more\"><a href=\"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/progresiones-o-sucesiones\/progresion-geometrica\/\" class=\"more-link\">Continue reading<span class=\"screen-reader-text\"> &#8220;Progresi\u00f3n geom\u00e9trica&#8221;<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":4324,"featured_media":0,"parent":251,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-260","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/260","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4324"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=260"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/260\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":642,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/260\/revisions\/642"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/251"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=260"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}