{"id":267,"date":"2018-10-17T07:52:56","date_gmt":"2018-10-17T06:52:56","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/?page_id=267"},"modified":"2019-06-13T09:22:18","modified_gmt":"2019-06-13T08:22:18","slug":"sucesion-de-fibonacci","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/progresiones-o-sucesiones\/sucesion-de-fibonacci\/","title":{"rendered":"Sucesi\u00f3n de Fibonacci"},"content":{"rendered":"<p><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/sucesion-Fibonacci-formulas-problemas-resueltos-suma-espiral-triangulo-Pascal.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/Fibonacci\/P5.png\" alt=\"\" width=\"277\" height=\"171\" \/><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: justify\">La sucesi\u00f3n de Fibonacci es conocida desde hace miles de a\u00f1os, pero fue Fibonacci (Leonardo de Pisa) quien la dio a conocer al utilizarla para resolver un problema.<\/p>\n<h2><strong>La sucesi\u00f3n<\/strong><\/h2>\n<p>El\u00a0<strong>primer<\/strong>\u00a0y\u00a0<strong>segundo<\/strong>\u00a0t\u00e9rmino de la sucesi\u00f3n son<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"primer y segundo t\u00e9rmino de Fibonacci: a(0)=0, a(1)=1\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/Fibonacci\/T1.png\" alt=\"Introducci\u00f3n a la sucesi\u00f3n de Fibonacci: concepto, f\u00f3rmulas y problemas resueltos. Secundaria, ESO y Bachillerato. \" \/><\/p>\n<p>Los siguientes t\u00e9rminos se obtienen sumando los dos t\u00e9rminos que les preceden:<\/p>\n<p>El\u00a0<strong>tercer t\u00e9rmino<\/strong>\u00a0de la sucesi\u00f3n es<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"Tercer t\u00e9rmino de la sucesi\u00f3n de Fibonacci: a(2) = a(0) + a(1) = 1\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/Fibonacci\/T3.png\" alt=\"Introducci\u00f3n a la sucesi\u00f3n de Fibonacci: concepto, f\u00f3rmulas y problemas resueltos. Secundaria, ESO y Bachillerato. \" \/><\/p>\n<p>El\u00a0<strong>cuarto t\u00e9rmino<\/strong>\u00a0es<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"Cuarto t\u00e9rmino de la sucesi\u00f3n de Fibonacci: a(3) = a(1) + a(2) = 2\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/Fibonacci\/T4.png\" alt=\"Introducci\u00f3n a la sucesi\u00f3n de Fibonacci: concepto, f\u00f3rmulas y problemas resueltos. Secundaria, ESO y Bachillerato. \" \/><\/p>\n<p>El\u00a0<strong>quinto t\u00e9rmino<\/strong>\u00a0es<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"Quinto t\u00e9rmino de la sucesi\u00f3n de Fibonacci: a(4) = a(2) + a(3) = 3\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/Fibonacci\/T5.png\" alt=\"Introducci\u00f3n a la sucesi\u00f3n de Fibonacci: concepto, f\u00f3rmulas y problemas resueltos. Secundaria, ESO y Bachillerato. \" \/><\/p>\n<p>El\u00a0<strong>sexto t\u00e9rmino<\/strong>\u00a0es<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"Sexto t\u00e9rmino de la sucesi\u00f3n de Fibonacci: a(5) = a(3) + a(4) = 5\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/Fibonacci\/T6.png\" alt=\"Introducci\u00f3n a la sucesi\u00f3n de Fibonacci: concepto, f\u00f3rmulas y problemas resueltos. Secundaria, ESO y Bachillerato. \" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: left\" align=\"center\">Y as\u00ed, sucesivamente.<\/p>\n<p style=\"text-align: left\" align=\"center\">Por tanto, el t\u00e9rmino de la posici\u00f3n <em>n+1<\/em> es<\/p>\n<p align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/Fibonacci\/T7.png\" width=\"165\" height=\"18\" \/><\/p>\n<h2 style=\"text-align: left\" align=\"center\"><strong>F\u00f3rmula de Binet<\/strong><\/h2>\n<p style=\"text-align: justify\" align=\"center\">La sucesi\u00f3n de Fibonacci est\u00e1 definida por <strong>recurrencia<\/strong>.\u00a0Esto significa que para calcular un t\u00e9rmino de la sucesi\u00f3n se necesitan los t\u00e9rminos que le preceden. Esto es, <em>a priori<\/em>, un problema a la hora de calcular t\u00e9rminos de posiciones muy altas.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify\" align=\"center\">Este problema se resuelve mediante la llamada f\u00f3rmula de Binet:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/sucesion-Fibonacci-formulas-problemas-resueltos-suma-espiral-triangulo-Pascal.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"F\u00f3mula de Binet: a(n) = (\u03c6^n - (1-\u03c6)^n)\/(\u221a2)\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/Fibonacci\/T12.png\" alt=\"Introducci\u00f3n a la sucesi\u00f3n de Fibonacci: concepto, f\u00f3rmulas y problemas resueltos. Secundaria, ESO y Bachillerato. \" width=\"188\" height=\"53\" \/><\/a><\/p>\n<p>Operando un poco,<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/sucesion-Fibonacci-formulas-problemas-resueltos-suma-espiral-triangulo-Pascal.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"F\u00f3rmula de Binet desarrollada\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/Fibonacci\/T13.png\" alt=\"Introducci\u00f3n a la sucesi\u00f3n de Fibonacci: concepto, f\u00f3rmulas y problemas resueltos. Secundaria, ESO y Bachillerato. \" width=\"268\" height=\"60\" \/><\/a><\/p>\n<p>Sin embargo, este t\u00e9rmino general tambi\u00e9n presenta un inconveniente: las <a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/newton\/ejercicios-resueltos-cuadrado-de-la-suma-binomio-de-newton.html\">potencias\u00a0en\u00e9simas de binomios<\/a> y <a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/potencias\/resueltos-potencias-raices.html\">ra\u00edces<\/a>.<\/p>\n<h2><strong>El n\u00famero de oro<\/strong><\/h2>\n<p>El n\u00famero \u00e1ureo o el n\u00famero de oro es el n\u00famero irracional<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"n\u00famero \u00e1ureo: \u03c6 = (1 +\u221a5)\/2 \u2245 1,61803...\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/Fibonacci\/T10.png\" alt=\"Introducci\u00f3n a la sucesi\u00f3n de Fibonacci: concepto, f\u00f3rmulas y problemas resueltos. Secundaria, ESO y Bachillerato. \" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify\">Su relaci\u00f3n con la sucesi\u00f3n de Fibonacci es que es el l\u00edmite de los cocientes de sus t\u00e9rminos:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/sucesion-Fibonacci-formulas-problemas-resueltos-suma-espiral-triangulo-Pascal.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"el l\u00edmite de a(n+1)\/a(n) = \u03c6\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/Fibonacci\/T11.png\" alt=\"Introducci\u00f3n a la sucesi\u00f3n de Fibonacci: concepto, f\u00f3rmulas y problemas resueltos. Secundaria, ESO y Bachillerato. \" width=\"130\" height=\"47\" \/><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: left\">Esto significa que los cocientes de los t\u00e9rminos consecutivos de la sucesi\u00f3n de Fibonacci se aproximan al n\u00famero \u00e1ureo.<\/p>\n<p>M\u00e1s informaci\u00f3n: <a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/sucesion-Fibonacci-formulas-problemas-resueltos-suma-espiral-triangulo-Pascal.html\">propiedades de la sucesi\u00f3n de Fibonacci y problemas resueltos<\/a>.<\/p>\n<p><strong>Recursos de sucesiones:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/test1\/test-online-preguntas-sucesion-progresion-arimetica-geometrica-basico.html\">Test b\u00e1sico de progresiones<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/convergente-divergente-oscilante-alternada-acotada-limite-creciente-decreciente-monotona-problemas-resueltos.html\">Tipos de progresiones<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/sucesion-aritmetica-formulas-ejemplos-problemas-resueltos.html\">Progresiones aritm\u00e9ticas<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/sucesion-geometrica-formulas-ejemplos-problemas-resueltos.html\">Progresiones geom\u00e9tricas<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/ejercicios-resueltos-sucesiones.html\">Problemas de progresiones aritm\u00e9ticas y geom\u00e9tricas<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/aritmeticas\/calculadoras\/calculadoras-online-sucesiones-aritmeticas-termino-general-diferencia-suma.html\">Calculadoras de progresiones aritm\u00e9ticas<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/geometricas\/calculadoras\/calculadoras-online-sucesiones-geometricas-termino-general-razon-suma.html\">Calculadoras de progresiones geom\u00e9tricas<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/operaciones-sucesiones-suma-diferencia-producto-cociente-limite-problemas-resueltos.html\">Operaciones entre sucesiones<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/calculo-limites-sucesiones-definicion-distancia-terminos-menor-mayor-problemas-resueltos.html\">L\u00edmites de sucesiones<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/subsucesion-sucesion-parcial-convergente-propiedades-ejemplos-limites-problemas-resueltos.html\">Subsucesiones o sucesiones parciales<\/a><\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/progresiones\/progresion-aritmetica-geometrica-sucesion-diferencia-razon-termino-general-problemas-resueltos.html\">Introducci\u00f3n a las progresiones<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/UNI\/progresiones\/criterios\/criterio-media-aritmetica-convergencia-sucesiones-ejemplos-demostracion-problemas.html\">Criterio de la media aritm\u00e9tica<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/UNI\/progresiones\/criterios\/criterio-media-geometrica-raiz-sucesiones-ejemplos-demostracion-problemas-sucesiones-convergencia.html\">Criterios de la media geom\u00e9trica y de la ra\u00edz<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/UNI\/progresiones\/criterios\/criterio-Stolz-cociente-convergencia-sucesiones-ejemplos-limites.html\">Criterio de Stolz<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/sucesiones-progresiones.html\">Sucesiones<\/a><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La sucesi\u00f3n de Fibonacci es conocida desde hace miles de a\u00f1os, pero fue Fibonacci (Leonardo de Pisa) quien la dio a conocer al utilizarla para resolver un problema. La sucesi\u00f3n El\u00a0primer\u00a0y\u00a0segundo\u00a0t\u00e9rmino de la sucesi\u00f3n son Los siguientes t\u00e9rminos se obtienen sumando los dos t\u00e9rminos que les preceden: El\u00a0tercer t\u00e9rmino\u00a0de la sucesi\u00f3n es El\u00a0cuarto t\u00e9rmino\u00a0es El\u00a0quinto &hellip; <\/p>\n<p class=\"link-more\"><a href=\"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/progresiones-o-sucesiones\/sucesion-de-fibonacci\/\" class=\"more-link\">Continue reading<span class=\"screen-reader-text\"> &#8220;Sucesi\u00f3n de Fibonacci&#8221;<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":4324,"featured_media":0,"parent":251,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-267","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/267","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4324"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=267"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/267\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":643,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/267\/revisions\/643"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/251"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=267"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}