{"id":302,"date":"2018-10-18T11:10:52","date_gmt":"2018-10-18T10:10:52","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/?page_id=302"},"modified":"2019-06-13T09:29:43","modified_gmt":"2019-06-13T08:29:43","slug":"teorema-de-rouche-frobenius","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/bachillerato\/algebra-matricial\/teorema-de-rouche-frobenius\/","title":{"rendered":"Teorema de Rouch\u00e9-Frobenius"},"content":{"rendered":"<p style=\"text-align: justify\">El teorema de Rouch\u00e9-Frobenius es de gran importancia en el \u00c1lgebra. En esta p\u00e1gina vamos a enunciar el teorema y a ver un ejemplo de aplicaci\u00f3n.<\/p>\n<h1><strong>Teorema de Rocuh\u00e9-Frobenius<\/strong><\/h1>\n<p style=\"text-align: justify\">Sea el sistema de ecuaciones en forma matricial <em>Ax = b<\/em>, donde <em>A<\/em> es la matriz de coeficientes, <em>b<\/em> es la matriz columna de t\u00e9rminos independientes y <em>x<\/em> la matriz columna de inc\u00f3gnitas. Consideramos que el sistema tiene <em>m<\/em> ecuaciones y <em>n<\/em> inc\u00f3gnitas, as\u00ed que la dimensi\u00f3n de A es <em>mxn<\/em> y la dimensi\u00f3n de <em>x<\/em> y de <em>b<\/em> es <em>nx1<\/em>.<\/p>\n<p>El teorema establece que<\/p>\n<ul>\n<li>El sistema <em>Ax = b<\/em> es compatible si el rango de la matriz <em>A<\/em> coincide con el rango de la matriz ampliada <em>(A|b)<\/em>.<\/li>\n<li>El sistema\u00a0<em>Ax = b<\/em> es compatible determinado si el rango de la matriz\u00a0<em>A\u00a0<\/em>y el de la matriz\u00a0ampliada <em>(A|b)\u00a0<\/em>es igual a\u00a0<em>n.\u00a0<\/em><\/li>\n<\/ul>\n<h1><strong>Ejemplo de aplicaci\u00f3n<\/strong><\/h1>\n<p>Consideremos el sistema de ecuaciones<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/teorema-Rouche-Frobenius-enunciado-ejemplos-aplicacion-sistemas-ecuaciones-lineales-matrices.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/rouche\/Rouche1.png\" alt=\"\" width=\"149\" height=\"68\" \/><\/a><\/p>\n<p>La matriz ampliada del sistema es:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/teorema-Rouche-Frobenius-enunciado-ejemplos-aplicacion-sistemas-ecuaciones-lineales-matrices.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"matriz ampliada del sistema 1\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/rouche\/Rouche1-1.png\" alt=\"ejemplos de aplicaci\u00f3n del teorema de Rouch\u00e9-Frobenius\" width=\"194\" height=\"64\" \/><\/a><\/p>\n<p>El rango de la matriz es<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"rango de la matriz ampliada del sistema 1\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/rouche\/Rouche1-2.png\" alt=\"ejemplos de aplicaci\u00f3n del teorema de Rouch\u00e9-Frobenius\" \/><\/p>\n<p>ya que tiene un determinante de dimensi\u00f3n 3 no nulo:<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"determinante de la matriz de coeficientes del sistema 1\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/rouche\/Rouche1-3.png\" alt=\"ejemplos de aplicaci\u00f3n del teorema de Rouch\u00e9-Frobenius\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify\">Adem\u00e1s, como el determinante anterior tambi\u00e9n es el determinante de la matriz\u00a0<i>A<\/i>, la matriz de coeficientes tambi\u00e9n tiene rango 3:<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"rango de la matriz de coeficientes del sistema 1\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/rouche\/Rouche1-4.png\" alt=\"ejemplos de aplicaci\u00f3n del teorema de Rouch\u00e9-Frobenius\" \/><\/p>\n<p>Por tanto, tenemos que los rangos de las dos matrices coinciden<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/teorema-Rouche-Frobenius-enunciado-ejemplos-aplicacion-sistemas-ecuaciones-lineales-matrices.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"rangos de las matrices de coeficientes y ampliadas del sistema 1 coinciden\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/rouche\/Rouche1-5.png\" alt=\"ejemplos de aplicaci\u00f3n del teorema de Rouch\u00e9-Frobenius\" width=\"232\" height=\"22\" \/><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: justify\">y, por el\u00a0<strong>teorema de Rouch\u00e9-Frobenius<\/strong>, como el rango es igual al n\u00famero de inc\u00f3gnitas, el sistema es\u00a0<strong>compatible determinado<\/strong>.<\/p>\n<p>En efecto, la \u00fanica soluci\u00f3n del sistema es, en forma matricial,<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/teorema-Rouche-Frobenius-enunciado-ejemplos-aplicacion-sistemas-ecuaciones-lineales-matrices.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"soluci\u00f3n en forma matricial del sistema 1\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/rouche\/Rouche1-6.png\" alt=\"ejemplos de aplicaci\u00f3n del teorema de Rouch\u00e9-Frobenius\" width=\"169\" height=\"64\" \/><\/a><\/p>\n<p><strong>Recursos de matrices:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-suma.html\">Suma de matrices<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/multiplicar-matrices-producto-matricial-ejemplos-explicados-propiedades-matriz.html\">Multiplicar matrices<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-producto.html\">Multiplicar matrices<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/metodo-eliminacion-gauss-jordan-matrices-sistemas-ecuaciones-lineales-resueltos-ejemplos-matriz.html\">Eliminaci\u00f3n de Gauss<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-SEL-GAUSS.html\">Eliminaci\u00f3n de Gauss<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/determinantes-matrices-reglas-Sarrus-Laplace-ejemplos-matriz.html\">Determinantes de matrices<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-determinantes.html\">Determinantes de matrices<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/matriz-inversa-Gauss-adjunta-ejemplos-metodo-identidad.html\">Matriz inversa<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/calcular-matriz-inversa-metodo-Gauss-operaciones-filas-identidad-matrices-ejemplos.html\">Matriz inversa (por Gauss)<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-inversa-adjunta.html\">Matriz inversa (por determinantes)<\/a>\u00a0(3)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/teorema-Rouche-Frobenius-enunciado-ejemplos-aplicacion-sistemas-ecuaciones-lineales-matrices.html\">Ejemplos del teorema de Rouch\u00e9-Frobenius<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/Rouche-Frobenius.htm\">Demostraci\u00f3n y ejemplos del teorema de Rouch\u00e9-Frobenius<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/ejemplos-regla-Cramer-sistemas-ecuaciones-lineales-problemas-resueltos-2x2-3x3.html\">Ejemplos de la regla de Cramer<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/ejercicios-resueltos-CRAMER.html\">Ejemplos de la regla de Cramer<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/ecuacion-matricial-ecuaciones-matrices-inversa-resueltas-explicadas.html\">Ecuaciones matriciales<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/ecuaciones\/sistemas-ecuaciones-matriciales-resueltas-ejemplos-matriz-inversa-solucion-problemas.html\">Ecuaciones matriciales<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/potencia-enesima-matriz-matrices-formula-ejemplos.html\">Potencias en\u00e9simas de matrices<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-potencias.html\">Potencias de matrices<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-demostraciones.html\">Problemas te\u00f3ricos de matrices<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/propiedades-determinantes-ejemplos-producto-inversa-traspuesta.html\">Propiedades de los determinantes<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/matriz-adjunta-ejemplos-calcular-matrices-cofactores.html\">Matriz adjunta<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices.htm\">M\u00e1s temas de matrices<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Calculadoras online de matrices:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/calculadoras\/matrices\/multiplicar\/calculadora-online-multiplicar-matrices-multiplicacion-producto-matricial-calcular.html\">Calculadora del producto de matrices<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/calculadoras\/matrices\/calculadora-online-determinantes-matrices-2x2-3x3-4x4-matriz.html\">Calculadora de determinante de una matriz<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/calculadoras\/matrices\/calculadora-online-matriz-inversa-adjunta-2x2-3x3-matrices.html\">Calculadora de la matriz inversa<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/calculadoras\/matrices\/calculadora-online-regla-Cramer-sistemas-ecuaciones-2x2-3x3-resolver.html\">Calculadora de la regla de Cramer<\/a><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>El teorema de Rouch\u00e9-Frobenius es de gran importancia en el \u00c1lgebra. En esta p\u00e1gina vamos a enunciar el teorema y a ver un ejemplo de aplicaci\u00f3n. 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