{"id":459,"date":"2019-01-05T19:17:53","date_gmt":"2019-01-05T18:17:53","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/?page_id=459"},"modified":"2019-06-13T09:28:53","modified_gmt":"2019-06-13T08:28:53","slug":"matriz-inversa","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/bachillerato\/algebra-matricial\/matriz-inversa\/","title":{"rendered":"Matriz inversa"},"content":{"rendered":"<p style=\"text-align: justify\">Si A es una matriz cuadrada de dimensi\u00f3n nxn y es\u00a0<strong>regular<\/strong>\u00a0(su determinante es distinto de 0), entonces existe una matriz llamada\u00a0<strong>matriz inversa<\/strong>\u00a0de A, A<sup>-1<\/sup>, tal que<\/p>\n<ul>\n<li><span style=\"font-size: 21.424px\">\u00a0<\/span>A<sup>-1<\/sup>\u00a0es de dimensi\u00f3n nxn<\/li>\n<li>A<sup>-1 <\/sup>\u00a0es el inverso multiplicativo de A por ambos lados, es decir,<\/li>\n<\/ul>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/matriz-inversa-Gauss-adjunta-ejemplos-metodo-identidad.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"A\u00b7(A^-1) = I, (A^-1)\u00b7A = I\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/inversa\/T0.png\" alt=\"Explicamos el m\u00e9todo de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas. \u00c1lgebra matricial.\" width=\"117\" height=\"52\" \/><\/a><\/p>\n<p>siendo I<sub>n<\/sub> la matriz identidad de dimensi\u00f3n nxn<\/p>\n<ul>\n<li>Su determinante es\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"determinante de la inversa: |A^-1| = 1\/|A|\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/inversa\/T1.png\" alt=\"Explicamos el m\u00e9todo de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas. \u00c1lgebra matricial.\" \/><\/p>\n<\/li>\n<li>La matriz inversa A<sup>-1<\/sup>\u00a0es \u00fanica, es decir, es la \u00fanica matriz que cumple las igualdades del segundo punto.<\/li>\n<\/ul>\n<h2 align=\"left\">Ejemplo<\/h2>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/matriz-inversa-Gauss-adjunta-ejemplos-metodo-identidad.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"matrices A = (1, 4; 0, 1) y A^-1 = (1, -4; 0, 1)\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/inversa\/T6.png\" alt=\"Explicamos el m\u00e9todo de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas. \u00c1lgebra matricial.\" width=\"149\" height=\"87\" \/><\/a><\/p>\n<p align=\"justify\">Para calcular la inversa disponemos de varios m\u00e9todos. Uno de ello es el que describimos a continuaci\u00f3n:<\/p>\n<p>Dada una matriz A cuadrada de dimensi\u00f3n nxn y\u00a0<strong>regular<\/strong>, definimos la matriz por bloques formada por la matriz A y\u00a0\u00a0la matriz\u00a0I<sub>n<\/sub> (matriz identidad de dimensi\u00f3n nxn):<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"matriz por bloques G = (A|I)\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/inversa\/T2.png\" alt=\"Explicamos el m\u00e9todo de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas. \u00c1lgebra matricial.\" \/><\/p>\n<p>Por ejemplo, si A es dimensi\u00f3n 2&#215;2,<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"matriz por bloques G = (A|I) siendo A una matriz de dimensi\u00f3n 2x2\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/inversa\/T3.png\" alt=\"Explicamos el m\u00e9todo de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas. \u00c1lgebra matricial.\" \/><\/p>\n<p>Y si es de dimensi\u00f3n 3&#215;3,<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/matriz-inversa-Gauss-adjunta-ejemplos-metodo-identidad.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"matriz por bloques G = (A|I) siendo A una matriz de dimensi\u00f3n 3x3\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/inversa\/T4.png\" alt=\"Explicamos el m\u00e9todo de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas. \u00c1lgebra matricial.\" width=\"273\" height=\"68\" \/><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: justify\">Para calcular la matriz inversa de A,\u00a0se realizan operaciones elementales fila para conseguir la\u00a0<strong>forma escalonada reducida<\/strong>\u00a0de la matriz G.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify\">Dicho en otras palabras, se realizan operaciones elementales filas hasta conseguir la matriz identidad en el bloque izquierdo de la matriz G, es decir,<\/p>\n<p style=\"text-align: left\" align=\"center\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"matriz por bloques (I|B) obtenida al finalizar el m\u00e9todo de Gauss para hallar la inversa\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/inversa\/T5.png\" alt=\"Explicamos el m\u00e9todo de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas. \u00c1lgebra matricial.\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify\">Al terminar las operaciones, la matriz identidad que hab\u00eda en el lado derecho se ha transformado en otra matriz B. Esta matriz B es precisamente la matriz inversa de A.<\/p>\n<h2 align=\"left\">Ejemplo<\/h2>\n<p>Vamos a calcular la matriz inversa del ejemplo anterior.\u00a0<span style=\"font-size: 1rem\">Construimos la matriz por bloques:<\/span><\/p>\n<div id=\"eje1\" class=\"respuesta\">\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"matriz por bloques (1, 4| 1, 0; 0, 1 | 0, 1)\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/inversa\/T7.png\" alt=\"Explicamos el m\u00e9todo de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas. \u00c1lgebra matricial.\" \/><\/p>\n<p>Para obtener la matriz identidad en el bloque izquierdo s\u00f3lo tenemos que restarle a la fila 1 cuatro veces la fila 2:<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"restamos 4 veces la fila 2 a la fila 1\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/inversa\/T8.png\" alt=\"Explicamos el m\u00e9todo de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas. \u00c1lgebra matricial.\" \/><\/p>\n<p>Como ya tenemos la identidad en el bloque izquierdo, la matriz del bloque derecho es la inversa:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/matriz-inversa-Gauss-adjunta-ejemplos-metodo-identidad.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"matriz inversa de A: (1, -4; 0, 1)\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/inversa\/T9.png\" alt=\"Explicamos el m\u00e9todo de Gauss y de la matriz adjunta para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas. \u00c1lgebra matricial.\" width=\"147\" height=\"43\" \/><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: left\" align=\"center\"><strong>M\u00e1s informaci\u00f3n de matrices:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-suma.html\">Suma de matrices<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/multiplicar-matrices-producto-matricial-ejemplos-explicados-propiedades-matriz.html\">Multiplicar matrices<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-producto.html\">Multiplicar matrices<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/metodo-eliminacion-gauss-jordan-matrices-sistemas-ecuaciones-lineales-resueltos-ejemplos-matriz.html\">Eliminaci\u00f3n de Gauss<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-SEL-GAUSS.html\">Eliminaci\u00f3n de Gauss<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/determinantes-matrices-reglas-Sarrus-Laplace-ejemplos-matriz.html\">Determinantes de matrices<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-determinantes.html\">Determinantes de matrices<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/matriz-inversa-Gauss-adjunta-ejemplos-metodo-identidad.html\">Matriz inversa<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/calcular-matriz-inversa-metodo-Gauss-operaciones-filas-identidad-matrices-ejemplos.html\">Matriz inversa (por Gauss)<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-inversa-adjunta.html\">Matriz inversa (por determinantes)<\/a>\u00a0(3)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/teorema-Rouche-Frobenius-enunciado-ejemplos-aplicacion-sistemas-ecuaciones-lineales-matrices.html\">Ejemplos del teorema de Rouch\u00e9-Frobenius<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/Rouche-Frobenius.htm\">Demostraci\u00f3n y ejemplos del teorema de Rouch\u00e9-Frobenius<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/ejemplos-regla-Cramer-sistemas-ecuaciones-lineales-problemas-resueltos-2x2-3x3.html\">Ejemplos de la regla de Cramer<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/ejercicios-resueltos-CRAMER.html\">Ejemplos de la regla de Cramer<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/ecuacion-matricial-ecuaciones-matrices-inversa-resueltas-explicadas.html\">Ecuaciones matriciales<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/ecuaciones\/sistemas-ecuaciones-matriciales-resueltas-ejemplos-matriz-inversa-solucion-problemas.html\">Ecuaciones matriciales<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/potencia-enesima-matriz-matrices-formula-ejemplos.html\">Potencias en\u00e9simas de matrices<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-potencias.html\">Potencias de matrices<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-demostraciones.html\">Problemas te\u00f3ricos de matrices<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/propiedades-determinantes-ejemplos-producto-inversa-traspuesta.html\">Propiedades de los determinantes<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/matriz-adjunta-ejemplos-calcular-matrices-cofactores.html\">Matriz adjunta<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices.htm\">M\u00e1s temas de matrices<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Calculadoras online de matrices:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/calculadoras\/matrices\/multiplicar\/calculadora-online-multiplicar-matrices-multiplicacion-producto-matricial-calcular.html\">Calculadora del producto de matrices<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/calculadoras\/matrices\/calculadora-online-determinantes-matrices-2x2-3x3-4x4-matriz.html\">Calculadora de determinante de una matriz<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/calculadoras\/matrices\/calculadora-online-matriz-inversa-adjunta-2x2-3x3-matrices.html\">Calculadora de la matriz inversa<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/calculadoras\/matrices\/calculadora-online-regla-Cramer-sistemas-ecuaciones-2x2-3x3-resolver.html\">Calculadora de la regla de Cramer<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Si A es una matriz cuadrada de dimensi\u00f3n nxn y es\u00a0regular\u00a0(su determinante es distinto de 0), entonces existe una matriz llamada\u00a0matriz 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