{"id":465,"date":"2019-01-05T19:24:31","date_gmt":"2019-01-05T18:24:31","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/?page_id=465"},"modified":"2019-06-13T09:30:41","modified_gmt":"2019-06-13T08:30:41","slug":"eliminacion-de-gauss","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/bachillerato\/algebra-matricial\/eliminacion-de-gauss\/","title":{"rendered":"Eliminaci\u00f3n de Gauss"},"content":{"rendered":"<p>Recordad que para resolver un sistema de ecuaciones podemos, sin alterar las soluciones del sistema:<\/p>\n<ul>\n<li>Intercambiar el orden de las ecuaciones.<\/li>\n<li>Sumar algunas de sus ecuaciones.<\/li>\n<li>Multiplicar alguna ecuaci\u00f3n por un n\u00famero distinto de 0.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify\">Esto es precisamente lo que se hace en el m\u00e9todo de Gauss: se modifican las ecuaciones para obtener un sistema mucho m\u00e1s f\u00e1cil de resolver, pero, en lugar de hacerlo sobre las ecuaciones, se hace sobre la\u00a0<strong>matriz ampliada<\/strong>\u00a0del sistema.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify\">El\u00a0<strong>m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n de Gauss<\/strong>\u00a0consiste en operar sobre la matriz ampliada del sistema hasta hallar la\u00a0<strong>forma escalonada<\/strong>\u00a0(una matriz triangular superior). As\u00ed, se obtiene un sistema f\u00e1cil de resolver por sustituci\u00f3n hacia atr\u00e1s.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify\">Si finalizamos las operaciones al hallar la\u00a0<strong>forma escalonada reducida<\/strong>\u00a0(forma lo m\u00e1s parecida a la matriz identidad), entonces el m\u00e9todo se denomina\u00a0<strong>eliminaci\u00f3n de Gauss-Jordan<\/strong>.<\/p>\n<ul>\n<li>Si se obtiene la matriz identidad, el sistema es compatible determinado (como en el sistema 1).<\/li>\n<li>Si se obtiene alguna fila de ceros con t\u00e9rmino independiente distinto de 0, el sistema es incompatible (como en el sistema 2).<\/li>\n<li>Si se obtiene alguna fila de ceros y no estamos en el caso anterior, el sistema es compatible indeterminado (como en el sistema 3).<\/li>\n<\/ul>\n<h2 align=\"left\">Ejemplo<\/h2>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/metodo-eliminacion-gauss-jordan-matrices-sistemas-ecuaciones-lineales-resueltos-ejemplos-matriz.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"sistema de ecuaciones 2x+3y+z=0, x+y+2z=1, x-y-z=-1\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/gauss\/S1.png\" alt=\"Explicamos el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 inc\u00f3gnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. \u00c1lgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas.\" width=\"185\" height=\"71\" \/><\/a><\/p>\n<p>La matriz ampliada del sistema es<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/metodo-eliminacion-gauss-jordan-matrices-sistemas-ecuaciones-lineales-resueltos-ejemplos-matriz.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"matriz ampliada del sistema de ecuaciones 1\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/gauss\/S1-1.png\" alt=\"Explicamos el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 inc\u00f3gnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. \u00c1lgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas.\" width=\"209\" height=\"68\" \/><\/a><\/p>\n<p>A fila 1 le restamos dos veces la fila 3 y a la fila 2 le restamos la fila 3:<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"A fila 1 le restamos dos veces la fila 3 y a la fila 2 le restamos la fila 3\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/gauss\/S1-2.png\" alt=\"Explicamos el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 inc\u00f3gnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. \u00c1lgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas.\" \/><\/p>\n<p>A la fila 1 le restamos la fila 2:<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"A la fila 1 le restamos la fila 2\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/gauss\/S1-3.png\" alt=\"Explicamos el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 inc\u00f3gnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. \u00c1lgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas.\" \/><\/p>\n<p>Dividimos la fila 1 entre 3:<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"Dividimos la fila 1 entre 3\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/gauss\/S1-4.png\" alt=\"Explicamos el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 inc\u00f3gnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. \u00c1lgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas.\" \/><\/p>\n<p>A la fila 3 le sumamos la fila 1 y a la fila 2 le restamos dos veces la fila 1:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/metodo-eliminacion-gauss-jordan-matrices-sistemas-ecuaciones-lineales-resueltos-ejemplos-matriz.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"A la fila 3 le sumamos la fila 1 y a la fila 2 le restamos dos veces la fila 1\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/gauss\/S1-5.png\" alt=\"Explicamos el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 inc\u00f3gnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. \u00c1lgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas.\" width=\"197\" height=\"66\" \/><\/a><\/p>\n<p>Dividimos la fila 2 entre 3:<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"Dividimos la fila 2 entre 3\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/gauss\/S1-6.png\" alt=\"Explicamos el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 inc\u00f3gnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. \u00c1lgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas.\" \/><\/p>\n<p>A la fila 3 le sumamos la fila 2:<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"A la fila 3 le sumamos la fila 2\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/gauss\/S1-7.png\" alt=\"Explicamos el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 inc\u00f3gnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. \u00c1lgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas.\" \/><\/p>\n<p>Reordenamos las 3 filas:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/metodo-eliminacion-gauss-jordan-matrices-sistemas-ecuaciones-lineales-resueltos-ejemplos-matriz.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"Reordenamos las 3 filas\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/gauss\/S1-8.png\" alt=\"Explicamos el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 inc\u00f3gnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. \u00c1lgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas.\" width=\"204\" height=\"69\" \/><\/a><\/p>\n<p>Ya tenemos resuelto el sistema porque la matriz obtenida es la soluci\u00f3n:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/metodo-eliminacion-gauss-jordan-matrices-sistemas-ecuaciones-lineales-resueltos-ejemplos-matriz.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"x = -1\/3, y = 0, z = 2\/3\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/gauss\/S1-9.png\" alt=\"Explicamos el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 inc\u00f3gnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. \u00c1lgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas.\" width=\"101\" height=\"73\" \/><\/a><\/p>\n<p>El sistema es\u00a0<strong>compatible determinado<\/strong>.<\/p>\n<p><strong>M\u00e1s informaci\u00f3n de matrices:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-suma.html\">Suma de matrices<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/multiplicar-matrices-producto-matricial-ejemplos-explicados-propiedades-matriz.html\">Multiplicar matrices<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-producto.html\">Multiplicar matrices<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/metodo-eliminacion-gauss-jordan-matrices-sistemas-ecuaciones-lineales-resueltos-ejemplos-matriz.html\">Eliminaci\u00f3n de Gauss<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-SEL-GAUSS.html\">Eliminaci\u00f3n de Gauss<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/determinantes-matrices-reglas-Sarrus-Laplace-ejemplos-matriz.html\">Determinantes de matrices<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-determinantes.html\">Determinantes de matrices<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/matriz-inversa-Gauss-adjunta-ejemplos-metodo-identidad.html\">Matriz inversa<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/calcular-matriz-inversa-metodo-Gauss-operaciones-filas-identidad-matrices-ejemplos.html\">Matriz inversa (por Gauss)<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-inversa-adjunta.html\">Matriz inversa (por determinantes)<\/a>\u00a0(3)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/teorema-Rouche-Frobenius-enunciado-ejemplos-aplicacion-sistemas-ecuaciones-lineales-matrices.html\">Ejemplos del teorema de Rouch\u00e9-Frobenius<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/Rouche-Frobenius.htm\">Demostraci\u00f3n y ejemplos del teorema de Rouch\u00e9-Frobenius<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/ejemplos-regla-Cramer-sistemas-ecuaciones-lineales-problemas-resueltos-2x2-3x3.html\">Ejemplos de la regla de Cramer<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/ejercicios-resueltos-CRAMER.html\">Ejemplos de la regla de Cramer<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/ecuacion-matricial-ecuaciones-matrices-inversa-resueltas-explicadas.html\">Ecuaciones matriciales<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/ecuaciones\/sistemas-ecuaciones-matriciales-resueltas-ejemplos-matriz-inversa-solucion-problemas.html\">Ecuaciones matriciales<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/potencia-enesima-matriz-matrices-formula-ejemplos.html\">Potencias en\u00e9simas de matrices<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-potencias.html\">Potencias de matrices<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-demostraciones.html\">Problemas te\u00f3ricos de matrices<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/propiedades-determinantes-ejemplos-producto-inversa-traspuesta.html\">Propiedades de los determinantes<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/matriz-adjunta-ejemplos-calcular-matrices-cofactores.html\">Matriz adjunta<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices.htm\">M\u00e1s temas de matrices<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Calculadoras online de matrices:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/calculadoras\/matrices\/multiplicar\/calculadora-online-multiplicar-matrices-multiplicacion-producto-matricial-calcular.html\">Calculadora del producto de matrices<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/calculadoras\/matrices\/calculadora-online-determinantes-matrices-2x2-3x3-4x4-matriz.html\">Calculadora de determinante de una matriz<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/calculadoras\/matrices\/calculadora-online-matriz-inversa-adjunta-2x2-3x3-matrices.html\">Calculadora de la matriz inversa<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/calculadoras\/matrices\/calculadora-online-regla-Cramer-sistemas-ecuaciones-2x2-3x3-resolver.html\">Calculadora de la regla de Cramer<\/a><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Recordad que para resolver un sistema de ecuaciones podemos, sin alterar las soluciones del sistema: Intercambiar el orden de las ecuaciones. 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