{"id":472,"date":"2019-01-05T19:40:16","date_gmt":"2019-01-05T18:40:16","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/?page_id=472"},"modified":"2019-06-13T09:31:35","modified_gmt":"2019-06-13T08:31:35","slug":"regla-de-cramer","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/bachillerato\/algebra-matricial\/regla-de-cramer\/","title":{"rendered":"Regla de Cramer"},"content":{"rendered":"<p style=\"text-align: justify\">La regla de Cramer proporciona la soluci\u00f3n de sistemas de ecuaciones lineales\u00a0<strong>compatibles determinados<\/strong>\u00a0(con una \u00fanica soluci\u00f3n) mediante el c\u00e1lculo de determinantes. Se trata de un m\u00e9todo muy r\u00e1pido para resolver sistemas, sobre todo, para sistemas de dimensi\u00f3n 2&#215;2 y 3&#215;3. Para dimensiones mayores, los determinantes son bastante m\u00e1s engorrosos.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify\">Recordad que un sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"AX = B\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/cramer\/t1.png\" alt=\"Ejemplos de aplicaci\u00f3n de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados (con una \u00fanica soluci\u00f3n) mediante el c\u00e1lculo de determinantes. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas. \u00c1lgebra matricial.\" \/><\/p>\n<p>donde<\/p>\n<ul>\n<li>A es la matriz de coeficientes del sistema,<\/li>\n<li>X es la matriz con las inc\u00f3gnitas,<\/li>\n<li>B es la matriz con los t\u00e9rminos independientes de las ecuaciones.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Para poder aplicar Cramer, la matriz A tiene que ser cuadrada y regular (determinante distinto de 0).<\/p>\n<p>La\u00a0<strong>regla de Cramer<\/strong>\u00a0establece que la inc\u00f3gnita x<sub>k<\/sub> de la soluci\u00f3n del sistema, cuyos coeficientes est\u00e1n en la columna k de A, es<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/ejemplos-regla-Cramer-sistemas-ecuaciones-lineales-problemas-resueltos-2x2-3x3.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"x(k) = |Ak|\/|A|\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/cramer\/t2.png\" alt=\"Ejemplos de aplicaci\u00f3n de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados (con una \u00fanica soluci\u00f3n) mediante el c\u00e1lculo de determinantes. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas. \u00c1lgebra matricial.\" width=\"91\" height=\"52\" \/><\/a><\/p>\n<p>donde A<sub>k<\/sub> es como la matriz A pero cambiando su columna n\u00famero K por la columna de t\u00e9rminos independientes, B.<\/p>\n<p>Es m\u00e1s f\u00e1cil de entender con un ejemplo:<\/p>\n<h3 align=\"left\"><strong>Ejemplo: sistema de dimensi\u00f3n 2&#215;2<\/strong><\/h3>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/ejemplos-regla-Cramer-sistemas-ecuaciones-lineales-problemas-resueltos-2x2-3x3.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"sistema de ecuacionles lineales 1\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/cramer\/P1.png\" alt=\"Ejemplos de aplicaci\u00f3n de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados (con una \u00fanica soluci\u00f3n) mediante el c\u00e1lculo de determinantes. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas. \u00c1lgebra matricial.\" width=\"126\" height=\"46\" \/><\/a><\/p>\n<p>La matriz de coeficientes del sistema es<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"matriz de coeficientes: A = (1, -3; 1, 5)\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/cramer\/P1-1.png\" alt=\"Ejemplos de aplicaci\u00f3n de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados (con una \u00fanica soluci\u00f3n) mediante el c\u00e1lculo de determinantes. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas. \u00c1lgebra matricial.\" \/><\/p>\n<p>La matriz de inc\u00f3gnitas es<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"matriz de inc\u00f3gnitas: X = (x; y)\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/cramer\/P1-2.png\" alt=\"Ejemplos de aplicaci\u00f3n de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados (con una \u00fanica soluci\u00f3n) mediante el c\u00e1lculo de determinantes. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas. \u00c1lgebra matricial.\" \/><\/p>\n<p>La matriz de t\u00e9rminos independientes es<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"matriz de t\u00e9rminos independientes: B = (2; 10)\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/cramer\/P1-3.png\" alt=\"Ejemplos de aplicaci\u00f3n de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados (con una \u00fanica soluci\u00f3n) mediante el c\u00e1lculo de determinantes. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas. \u00c1lgebra matricial.\" \/><\/p>\n<p>Calculamos el determinante de A:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/ejemplos-regla-Cramer-sistemas-ecuaciones-lineales-problemas-resueltos-2x2-3x3.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"el determinante de la matriz A es 8\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/cramer\/P1-4.png\" alt=\"Ejemplos de aplicaci\u00f3n de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados (con una \u00fanica soluci\u00f3n) mediante el c\u00e1lculo de determinantes. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas. \u00c1lgebra matricial.\" width=\"152\" height=\"91\" \/><\/a><\/p>\n<p>Podemos aplicar la regla de Cramer.<\/p>\n<p>La primera inc\u00f3gnita es x,\u00a0\u00a0cuyos coeficientes son los de la primera columna de A. La matriz A<sub>1<\/sub> es como A pero cambiando dicha columna por la columna B:<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"matriz A1 = (2, -3; 10, 5)\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/cramer\/P1-5.png\" alt=\"Ejemplos de aplicaci\u00f3n de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados (con una \u00fanica soluci\u00f3n) mediante el c\u00e1lculo de determinantes. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas. \u00c1lgebra matricial.\" \/><\/p>\n<p>Calculamos x:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/ejemplos-regla-Cramer-sistemas-ecuaciones-lineales-problemas-resueltos-2x2-3x3.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"aplicando Cramer, x = 5\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/cramer\/P1-6.png\" alt=\"Ejemplos de aplicaci\u00f3n de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados (con una \u00fanica soluci\u00f3n) mediante el c\u00e1lculo de determinantes. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas. \u00c1lgebra matricial.\" width=\"152\" height=\"119\" \/><\/a><\/p>\n<p>La segunda inc\u00f3gnita es y y sus coeficientes son los de la segunda columna de A. Tenemos que calcular el determinante de la matriz<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"matriz A2 = (1, 2; 1, 10)\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/cramer\/P1-7.png\" alt=\"Ejemplos de aplicaci\u00f3n de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados (con una \u00fanica soluci\u00f3n) mediante el c\u00e1lculo de determinantes. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas. \u00c1lgebra matricial.\" \/><\/p>\n<p>Calculamos y:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/ejemplos-regla-Cramer-sistemas-ecuaciones-lineales-problemas-resueltos-2x2-3x3.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"aplicando Cramer, y = 1\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/cramer\/P1-8.png\" alt=\"Ejemplos de aplicaci\u00f3n de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados (con una \u00fanica soluci\u00f3n) mediante el c\u00e1lculo de determinantes. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas. \u00c1lgebra matricial.\" width=\"137\" height=\"119\" \/><\/a><\/p>\n<p>Por tanto, la soluci\u00f3n del sistema es<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"soluci\u00f3n del sistema 1: x = 5, y = 1\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/cramer\/P1-9.png\" alt=\"Ejemplos de aplicaci\u00f3n de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados (con una \u00fanica soluci\u00f3n) mediante el c\u00e1lculo de determinantes. Bachillerato. Universidad. Matem\u00e1ticas. \u00c1lgebra matricial.\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: left\" align=\"center\"><strong>M\u00e1s informaci\u00f3n de matrices:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-suma.html\">Suma de matrices<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/multiplicar-matrices-producto-matricial-ejemplos-explicados-propiedades-matriz.html\">Multiplicar matrices<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-producto.html\">Multiplicar matrices<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/metodo-eliminacion-gauss-jordan-matrices-sistemas-ecuaciones-lineales-resueltos-ejemplos-matriz.html\">Eliminaci\u00f3n de Gauss<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-SEL-GAUSS.html\">Eliminaci\u00f3n de Gauss<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/determinantes-matrices-reglas-Sarrus-Laplace-ejemplos-matriz.html\">Determinantes de matrices<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-determinantes.html\">Determinantes de matrices<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/matriz-inversa-Gauss-adjunta-ejemplos-metodo-identidad.html\">Matriz inversa<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/calcular-matriz-inversa-metodo-Gauss-operaciones-filas-identidad-matrices-ejemplos.html\">Matriz inversa (por Gauss)<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-inversa-adjunta.html\">Matriz inversa (por determinantes)<\/a>\u00a0(3)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/teorema-Rouche-Frobenius-enunciado-ejemplos-aplicacion-sistemas-ecuaciones-lineales-matrices.html\">Ejemplos del teorema de Rouch\u00e9-Frobenius<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/Rouche-Frobenius.htm\">Demostraci\u00f3n y ejemplos del teorema de Rouch\u00e9-Frobenius<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/ejemplos-regla-Cramer-sistemas-ecuaciones-lineales-problemas-resueltos-2x2-3x3.html\">Ejemplos de la regla de Cramer<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/ejercicios-resueltos-CRAMER.html\">Ejemplos de la regla de Cramer<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/ecuacion-matricial-ecuaciones-matrices-inversa-resueltas-explicadas.html\">Ecuaciones matriciales<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/ecuaciones\/sistemas-ecuaciones-matriciales-resueltas-ejemplos-matriz-inversa-solucion-problemas.html\">Ecuaciones matriciales<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/potencia-enesima-matriz-matrices-formula-ejemplos.html\">Potencias en\u00e9simas de matrices<\/a>\u00a0(1)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-potencias.html\">Potencias de matrices<\/a>\u00a0(2)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices\/resueltos-matrices-demostraciones.html\">Problemas te\u00f3ricos de matrices<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/propiedades-determinantes-ejemplos-producto-inversa-traspuesta.html\">Propiedades de los determinantes<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/matrices\/matriz-adjunta-ejemplos-calcular-matrices-cofactores.html\">Matriz adjunta<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/matrices.htm\">M\u00e1s temas de matrices<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Calculadoras online de matrices:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/calculadoras\/matrices\/multiplicar\/calculadora-online-multiplicar-matrices-multiplicacion-producto-matricial-calcular.html\">Calculadora del producto de matrices<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/calculadoras\/matrices\/calculadora-online-determinantes-matrices-2x2-3x3-4x4-matriz.html\">Calculadora de determinante de una matriz<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/calculadoras\/matrices\/calculadora-online-matriz-inversa-adjunta-2x2-3x3-matrices.html\">Calculadora de la matriz inversa<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/calculadoras\/matrices\/calculadora-online-regla-Cramer-sistemas-ecuaciones-2x2-3x3-resolver.html\">Calculadora de la regla de Cramer<\/a><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La regla de Cramer proporciona la soluci\u00f3n de sistemas de ecuaciones lineales\u00a0compatibles determinados\u00a0(con una \u00fanica soluci\u00f3n) mediante el c\u00e1lculo de determinantes. 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