{"id":500,"date":"2019-01-29T18:19:14","date_gmt":"2019-01-29T17:19:14","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/?page_id=500"},"modified":"2019-06-13T09:18:13","modified_gmt":"2019-06-13T08:18:13","slug":"producto-escalar-de-vectores-del-plano","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/secundaria-geometria\/vectores-del-plano\/producto-escalar-de-vectores-del-plano\/","title":{"rendered":"Producto escalar de vectores (del plano)"},"content":{"rendered":"<p>Sean los vectores<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/vectores2D\/vectores-suma-resta-producto-escalar-modulo-angulo-ejemplos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"coordenadas de los vectores v y w\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/geometria_plana\/vectores\/vectorT10-1.png\" alt=\"Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostraci\u00f3n). vector, vector opuesto, m\u00f3dulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y \u00e1ngulo que forman dos vectores. Geometr\u00eda plana. Geometr\u00eda 2D. Secundaria y bachillerato.\" width=\"115\" height=\"55\" \/><\/a><\/p>\n<p>Se define el\u00a0<strong>producto escalar<\/strong>\u00a0de dichos vectores como<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/vectores2D\/vectores-suma-resta-producto-escalar-modulo-angulo-ejemplos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"producto escalar de los vectores v y w: v\u00b7w = |v|\u00b7|W|\u00b7cos(\u03b1)\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/geometria_plana\/vectores\/vectorT10-2.png\" alt=\"Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostraci\u00f3n). vector, vector opuesto, m\u00f3dulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y \u00e1ngulo que forman dos vectores. Geometr\u00eda plana. Geometr\u00eda 2D. Secundaria y bachillerato.\" width=\"202\" height=\"24\" \/><\/a><\/p>\n<p>donde\u00a0<i>\u03b1<\/i>\u00a0representa el \u00e1ngulo que forman los vectores.<\/p>\n<p>El producto se llama\u00a0<strong>escalar<\/strong>\u00a0porque el resultado es un escalar (un n\u00famero real).<\/p>\n<p>Otra forma de calcular dicho producto es multiplicando y sumando las\u00a0<strong>coordenadas<\/strong>\u00a0de los vectores:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/vectores2D\/vectores-suma-resta-producto-escalar-modulo-angulo-ejemplos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"f\u00f3rmula para calcular el producto escalar de dos vectores: v\u00b7w = v1\u00b7w1 + v2\u00b7w2\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/geometria_plana\/vectores\/vectorT10-3.png\" alt=\"Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostraci\u00f3n). vector, vector opuesto, m\u00f3dulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y \u00e1ngulo que forman dos vectores. Geometr\u00eda plana. Geometr\u00eda 2D. Secundaria y bachillerato.\" width=\"204\" height=\"26\" \/><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: left\" align=\"center\">A partir de ambas f\u00f3rmulas podemos calcular el \u00e1ngulo:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/vectores2D\/vectores-suma-resta-producto-escalar-modulo-angulo-ejemplos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"f\u00f3rmula para calcular el \u00e1ngulo que forman dos vectores: \u03b1 = arccos((v1\u00b7w1 + v2\u00b7w2)\/(|v|\u00b7|w|))\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/geometria_plana\/vectores\/vectorT10-4.png\" alt=\"Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostraci\u00f3n). vector, vector opuesto, m\u00f3dulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y \u00e1ngulo que forman dos vectores. Geometr\u00eda plana. Geometr\u00eda 2D. Secundaria y bachillerato.\" width=\"254\" height=\"47\" \/><\/a><\/p>\n<h1 style=\"text-align: left\" align=\"center\"><strong>Ejemplo<\/strong><\/h1>\n<p>Sean los vectores<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"v = (1\/2, 1) y w = (3\/2, 1\/2)\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/geometria_plana\/vectores\/vectorT10-5.png\" alt=\"Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostraci\u00f3n). vector, vector opuesto, m\u00f3dulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y \u00e1ngulo que forman dos vectores. Geometr\u00eda plana. Geometr\u00eda 2D. Secundaria y bachillerato.\" \/><\/p>\n<p>Calculamos su producto escalar a partir de las coordenadas:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/vectores2D\/vectores-suma-resta-producto-escalar-modulo-angulo-ejemplos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"calculamos el producto escalar de los vectores v = (1\/2, 1) y w = (3\/2, 1\/2) obteniendo 5\/4\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/geometria_plana\/vectores\/vectorT10-6.png\" alt=\"Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostraci\u00f3n). vector, vector opuesto, m\u00f3dulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y \u00e1ngulo que forman dos vectores. Geometr\u00eda plana. Geometr\u00eda 2D. Secundaria y bachillerato.\" width=\"224\" height=\"187\" \/><\/a><\/p>\n<p>Ahora calculamos los m\u00f3dulos de los vectores para aplicar la f\u00f3rmula anterior y obtener el \u00e1ngulo que forman:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/vectores2D\/vectores-suma-resta-producto-escalar-modulo-angulo-ejemplos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"calculamos el m\u00f3dulo de los vectores v = (1\/2, 1) y w = (3\/2, 1\/2)\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/geometria_plana\/vectores\/vectorT10-7.png\" alt=\"Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostraci\u00f3n). vector, vector opuesto, m\u00f3dulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y \u00e1ngulo que forman dos vectores. Geometr\u00eda plana. Geometr\u00eda 2D. Secundaria y bachillerato.\" width=\"183\" height=\"316\" \/><\/a><\/p>\n<p>Por tanto, el \u00e1ngulo es<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"calculamos el \u00e1ngulo que forman los vectores v = (1\/2, 1) y w = (3\/2, 1\/2): \u03b1 = 45\u00ba\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/geometria_plana\/vectores\/vectorT10-8.png\" alt=\"Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostraci\u00f3n). vector, vector opuesto, m\u00f3dulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y \u00e1ngulo que forman dos vectores. Geometr\u00eda plana. Geometr\u00eda 2D. Secundaria y bachillerato.\" \/><\/p>\n<p>Representaci\u00f3n de los vectores:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/vectores2D\/vectores-suma-resta-producto-escalar-modulo-angulo-ejemplos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"representaci\u00f3n de los vectores v = (1\/2, 1) y w = (3\/2, 1\/2) y el \u00e1ngulo \u03b1 = 45\u00ba que forman\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/geometria_plana\/vectores\/vector0-10.png\" alt=\"Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostraci\u00f3n). vector, vector opuesto, m\u00f3dulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y \u00e1ngulo que forman dos vectores. Geometr\u00eda plana. Geometr\u00eda 2D. Secundaria y bachillerato.\" width=\"187\" height=\"183\" \/><\/a><\/p>\n<p>Problemas resueltos de vectores:<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/geometria2D\/sumar-restar-vectores-plano-ejemplos-problemas-resueltos.html\">Sumar y restar vectores<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/geometria2D\/modulo-vector-ejemplo-problemas-resueltos-ejemplos-plano.html\">M\u00f3dulo de un vector<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/geometria2D\/diferencias-modulo-direccion-sentido-vector-longitud-ejemplos.html\">M\u00f3dulo, direcci\u00f3n y sentido<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/geometria2D\/vector-une-dos-puntos-distancia-modulo-ejemplos-problemas-resueltos.html\">Vector que une dos puntos<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/geometria2D\/producto-escalar-vector-ejemplos-propiedades-problemas-resueltos-vectores.html\">Producto de un escalar por un vector<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/geometria2D\/producto-escalar-vectores-propiedades-ejemplos-problemas-resueltos-geometria-plana.html\">Producto escalar de vectores<\/a><\/li>\n<li><strong>Resumen:<\/strong> <a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/geometria_plana\/vectores\/ejercicios-resueltos-vectores-suma-producto-escalar-modulo.html\">vectores del plano (con problemas)<\/a><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Sean los vectores Se define el\u00a0producto escalar\u00a0de dichos vectores como donde\u00a0\u03b1\u00a0representa el \u00e1ngulo que forman los vectores. El producto se llama\u00a0escalar\u00a0porque el resultado es un escalar (un n\u00famero real). Otra forma de calcular dicho producto es multiplicando y sumando las\u00a0coordenadas\u00a0de los vectores: A partir de ambas f\u00f3rmulas podemos calcular el \u00e1ngulo: Ejemplo Sean los vectores &hellip; <\/p>\n<p class=\"link-more\"><a href=\"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/secundaria-geometria\/vectores-del-plano\/producto-escalar-de-vectores-del-plano\/\" class=\"more-link\">Continue reading<span class=\"screen-reader-text\"> &#8220;Producto escalar de vectores (del plano)&#8221;<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":4324,"featured_media":0,"parent":483,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-500","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/500","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4324"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=500"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/500\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":639,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/500\/revisions\/639"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/483"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=500"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}