{"id":558,"date":"2019-06-10T17:43:34","date_gmt":"2019-06-10T16:43:34","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/?page_id=558"},"modified":"2019-07-01T11:04:55","modified_gmt":"2019-07-01T10:04:55","slug":"concepto-de-limite","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/calculo-de-limites\/concepto-de-limite\/","title":{"rendered":"Concepto de l\u00edmite"},"content":{"rendered":"

En esta p\u00e1gina explicamos intuitivamente el concepto de l\u00edmite de una funci\u00f3n (de una variable: x<\/em>), tanto en un punto finito como infinito.<\/p>\n

1. L\u00edmite en un punto finito<\/h1>\n

Decimos que el l\u00edmite de\u00a0 f(x)<\/em> cuando x<\/em> tiende al punto \u00a0a <\/em>es\u00a0 L<\/em><\/strong> si la funci\u00f3n toma valores cada vez m\u00e1s cercanos a\u00a0 L<\/em> cuando x<\/em> toma valores cada vez m\u00e1s cercanos al punto\u00a0a<\/em>.<\/p>\n

Lo expresamos mediante<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Ejemplo:<\/h2>\n

Consideremos la funci\u00f3n f(x) = x 2<\/sup><\/em>. Para calcular su l\u00edmite en el punto x = 2<\/em>, damos a x<\/em>\u00a0valores cercanos a 2 por su izquierda y su derecha.<\/p>\n

Por la izquierda:<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Por la derecha:<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Se observa que la funci\u00f3n tiende a 4 por ambos lados de 2. Por tanto, su l\u00edmite es 4:<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Gr\u00e1fica de la funci\u00f3n:<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

 <\/p>\n

Si la funci\u00f3n tiende a puntos distintos por uno y otro lado del punto\u00a0a<\/em>, entonces no existe el l\u00edmite<\/strong> de la funci\u00f3n en dicho punto.<\/p>\n

Observad que, normalmente, el l\u00edmite de\u00a0f(x)<\/em>\u00a0en el punto a<\/em> coincide con su imagen, es decir, con f(a)<\/em> . Para ser m\u00e1s exactos, esto ocurre en las funciones que son continuas en el punto a<\/em>.<\/p>\n

Un ejemplo de funci\u00f3n discontinua es f(x) = 1\/(x2<\/sup>)<\/em> , cuyo l\u00edmite cuando x<\/em> tiende a 0 no coincide con f(0)<\/em>\u00a0 porque la funci\u00f3n ni siquiera est\u00e1 definida en dicho punto (no podemos dividir entre 0).<\/p>\n

2. L\u00edmite en un punto infinito<\/h1>\n

Decimos que el l\u00edmite de f(x)<\/em> cuando x<\/em> tiende a m\u00e1s infinito (+\u221e) es L<\/em><\/strong> si la funci\u00f3n toma valores cada vez m\u00e1s cercanos a L<\/em> cuando x<\/em> crece indefinidamente.<\/p>\n

Lo expresamos mediante<\/p>\n

An\u00e1logamente, el l\u00edmite de f(x)<\/em> cuando x<\/em> tiende a menos infinito (-\u221e) es L<\/em><\/strong> si la funci\u00f3n toma valores cada vez m\u00e1s cercanos a L<\/em> cuando x<\/em> decrece indefinidamente.<\/p>\n

Lo expresamos mediante<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Ejemplos:<\/h2>\n
    \n
  1. El l\u00edmite de la funci\u00f3n cuadrado es infinito:
    \n    \"El<\/a><\/li>\n
  2. Y el l\u00edmite de su inverso es 0:
    \n    \"L\u00edmite<\/a>
    \nEl l\u00edmite es 0 porque un cociente positivo toma valores positivos m\u00e1s peque\u00f1os a medida que su denominador aumenta. Por tanto, cuando el denominador tiende a infinito, el cociente tiende a 0.
    \nGr\u00e1fica de la funci\u00f3n:
    \n    \"Gr\u00e1fica<\/a><\/li>\n<\/ol>\n

    M\u00e1s ejemplos<\/h1>\n

    L\u00edmite 1<\/h2>\n

    <\/p>\n

    Los polinomios son funciones continuas, as\u00ed que su l\u00edmite en un punto finito a<\/em> siempre es f(a)<\/em>.<\/p>\n

    Calculamos el l\u00edmite sustituyendo el punto:<\/p>\n

    \"l\u00edmite<\/a><\/p>\n

    Gr\u00e1fica de la funci\u00f3n:<\/p>\n

    <\/p>\n

    El l\u00edmite de un polinomio cuando x<\/em> tiende a infinito (positivo o negativo) siempre es infinito. El signo del infinito del l\u00edmite depende el grado y del coeficiente principal del polinomio.<\/p>\n

    L\u00edmite 2<\/h2>\n

    <\/p>\n

    El seno de 0 es 0 y, por tanto, su cuadrado tambi\u00e9n es 0.<\/p>\n

    Como un cuadrado es siempre no negativo, el denominador tiende a 0 por ambos lados.<\/p>\n

    Cuando el denominador de una fracci\u00f3n positiva decrece, el cociente crece. Por tanto, cuando x<\/em> se acerca a 0, la funci\u00f3n toma valores muy grandes. Es decir, el l\u00edmite es infinito:<\/p>\n

    \"el<\/a><\/p>\n

    Gr\u00e1fica de la funci\u00f3n:<\/p>\n

    \"Gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n

    M\u00e1s ejemplos y temas de l\u00edmites:<\/strong><\/p>\n

<\/a><\/p>\n