{"id":572,"date":"2019-06-11T11:37:13","date_gmt":"2019-06-11T10:37:13","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/?page_id=572"},"modified":"2019-07-02T11:26:21","modified_gmt":"2019-07-02T10:26:21","slug":"limites-laterales","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/calculo-de-limites\/limites-laterales\/","title":{"rendered":"L\u00edmites laterales"},"content":{"rendered":"

En esta p\u00e1gina explicamos intuitivamente el concepto de l\u00edmite lateral de una funci\u00f3n, con ejemplos y gr\u00e1ficas, y proporcionamos algunos ejemplos de funciones cuyos l\u00edmites laterales no coinciden.<\/p>\n

1. Recordatorio<\/h1>\n

Conviene recordar el concepto de l\u00edmite:<\/p>\n

Decimos que la funci\u00f3n\u00a0f(x)<\/em> \u00a0tiende a L<\/em> cuando\u00a0x<\/em>\u00a0tiende a \u00a0a <\/em>(o que el l\u00edmite de\u00a0f(x)<\/em> \u00a0en\u00a0a<\/em> es\u00a0L<\/em> ) si la funci\u00f3n\u00a0\u00a0toma valores cada vez m\u00e1s pr\u00f3ximos a\u00a0\u00a0L <\/em>cuando\u00a0x<\/em>\u00a0se aproxima al punto a<\/em>.<\/p>\n

Lo expresamos mediante<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Por ejemplo, el l\u00edmite de la funci\u00f3n x2<\/sup><\/em> cuando x<\/em>\u00a0tiende a 2 es 4:<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

El concepto de\u00a0l\u00edmite lateral<\/strong>\u00a0es el mismo, pero considerando que\u00a0x<\/em>\u00a0se aproxima al punto\u00a0a <\/em>\u00a0s\u00f3lo por su derecha o por su izquierda.<\/p>\n

2. L\u00edmite lateral<\/h1>\n

El l\u00edmite de\u00a0f(x)<\/em> \u00a0por la izquierda de\u00a0a<\/em><\/strong>\u00a0es\u00a0L<\/em> si la funci\u00f3n\u00a0\u00a0toma valores cada vez m\u00e1s pr\u00f3ximos a\u00a0L<\/em>\u00a0cuando\u00a0x<\/em>\u00a0se aproxima al punto a<\/em>\u00a0por su izquierda.<\/p>\n

Lo denotamos por<\/p>\n

\"l\u00edmites<\/a><\/p>\n

An\u00e1logamente, el l\u00edmite de f(x)<\/em> \u00a0por la derecha de a<\/em><\/strong>\u00a0es\u00a0L<\/em> si la funci\u00f3n\u00a0\u00a0toma valores cada vez m\u00e1s pr\u00f3ximos a\u00a0L<\/em>\u00a0cuando\u00a0x<\/em>\u00a0se aproxima al punto a<\/em> por su derecha.<\/p>\n

Lo denotamos por<\/p>\n

\"l\u00edmites<\/a><\/p>\n

Ejemplo:<\/strong><\/h2>\n

Consideremos la funci\u00f3n f(x) = 1\/x<\/em> . Queremos calcular sus l\u00edmites laterales en el punto\u00a0x=0<\/em>.<\/p>\n

Cuando\u00a0x<\/em>\u00a0toma valores cercanos a 0 por su derecha,\u00a0f(x)<\/em>\u00a0toma valores positivos grandes:<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Por tanto, su l\u00edmite por la derecha es infinito positivo:<\/p>\n

\"el<\/a><\/p>\n

Cuando\u00a0x<\/em> toma valores cercanos a 0 por su izquierda, f(x)<\/em> toma valores negativos peque\u00f1os:<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Por tanto, su l\u00edmite por la izquierda es infinito negativo:<\/p>\n

\"el<\/a><\/p>\n

Gr\u00e1fica de la funci\u00f3n:<\/p>\n

\"gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n

L\u00f3gicamente, hablamos del l\u00edmite de una funci\u00f3n en un punto cuando sus l\u00edmites laterales coinciden<\/strong>:<\/p>\n

\"l\u00edmites<\/a><\/p>\n

Si no es as\u00ed, decimos que el l\u00edmite en a<\/em>\u00a0no existe. Esto es lo que ocurre en el ejemplo anterior, as\u00ed que<\/p>\n

\"no<\/a><\/p>\n

3. Ejemplos<\/h1>\n

Veamos dos ejemplos t\u00edpicos de funciones cuyos l\u00edmites laterales no coinciden.<\/p>\n

Ejemplo 1<\/h2>\n

En las funciones racionales (fracciones de polinomios), los puntos que anulan al denominador son puntos donde, generalmente, los l\u00edmites laterales no coinciden.<\/p>\n

Por ejemplo,<\/p>\n

\"l\u00edmites<\/a><\/p>\n

Gr\u00e1fica:<\/p>\n

\"gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n

Ejemplo 2<\/h2>\n

En las funciones definidas a trozos es habitual que no coincidan los l\u00edmites laterales en los puntos donde cambia la definici\u00f3n.<\/p>\n

Por ejemplo, sea la funci\u00f3n<\/p>\n

\"funci\u00f3n<\/a><\/p>\n

Los l\u00edmites laterales en 0 son<\/p>\n

\"l\u00edmites<\/a>Gr\u00e1fica:<\/p>\n

\"gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n

 <\/p>\n

M\u00e1s ejemplos y temas de l\u00edmites:<\/strong><\/p>\n