{"id":579,"date":"2019-06-12T10:00:18","date_gmt":"2019-06-12T09:00:18","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/?page_id=579"},"modified":"2019-06-12T10:08:48","modified_gmt":"2019-06-12T09:08:48","slug":"indeterminaciones","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/calculo-de-limites\/indeterminaciones\/","title":{"rendered":"Indeterminaciones"},"content":{"rendered":"

En esta p\u00e1gina explicamos en qu\u00e9 consisten las indeterminaciones que aparecen en los l\u00edmites, proporcionamos una lista de las mismas y las reglas para operar con infinitos\/ceros en las no indeterminaciones. Despu\u00e9s, resolvemos algunos l\u00edmites aplicando las reglas vistas y algunos l\u00edmites b\u00e1sicos con indeterminaciones.<\/p>\n

1. Introducci\u00f3n<\/h1>\n

Veamos un ejemplo introductorio.<\/p>\n

Supongamos que queremos calcular el siguiente l\u00edmite:<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

En un principio, las funciones del numerador y del denominador est\u00e1n bien definidas para el punto x=1<\/em>, pero si sustituimos el punto\u00a0x=1<\/em> en ambas, obtenemos la expresi\u00f3n 0\/0:<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Obviamente, este resultado no tiene sentido matem\u00e1ticamente.<\/p>\n

Algo parecido ocurre al calcular el l\u00edmite siguiente:<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Sin embargo, hay una diferencia sustancial entre ambos resultados: podemos asegurar el resultado de todos los l\u00edmites en los que aparece la expresi\u00f3n 1\/0 es \u221e, pero no podemos predecir el resultado de los l\u00edmites en los que aparece 0\/0.<\/p>\n

Por esta raz\u00f3n, decimos que la expresi\u00f3n 0\/0 es una indeterminaci\u00f3n<\/strong>. Cuando aparece una indeterminaci\u00f3n en un l\u00edmite, el l\u00edmite depende de la propia funci\u00f3n. Esto conlleva que, aunque aparezca la misma indeterminaci\u00f3n, el l\u00edmite puede ser distinto para funciones distintas.<\/p>\n

2. Lista de indeterminaciones<\/h1>\n

S\u00f3lo hay 7 indeterminaciones y son las siguientes:<\/p>\n

\"indeterminaciones\"<\/a><\/p>\n

Existen otras expresiones similares a las anteriores pero que no<\/strong> son indeterminaciones, puesto que tenemos reglas que proporcionan el resultado.<\/p>\n

3. Reglas<\/h1>\n

B\u00e1sicamente, las reglas que enumeramos a continuaci\u00f3n involucran infinitos y divisiones entre 0 \u00f3 infinito y s\u00f3lo son v\u00e1lidas en el c\u00e1lculo de l\u00edmites. La mayor\u00eda de ellas son intuitivas, as\u00ed que no vamos a comentarlas.<\/p>\n

En adelante, k<\/em> es una constante distinta de 0.<\/p>\n

1. Sumas\/restas con infinito:<\/h2>\n

\"Sumas<\/a><\/p>\n

2.\u00a0Productos con infinito:<\/h2>\n

\"productos<\/a><\/p>\n

3. Cocientes con infinito \u00f3 0:<\/h2>\n

\"cocientes<\/a><\/p>\n

4. Potencias con infinito:<\/h2>\n

\"potencias<\/a>4. Ejemplos<\/h1>\n

Los dos primeros l\u00edmites no presentan indeterminaciones.<\/p>\n

L\u00edmite 1<\/h2>\n

<\/a><\/p>\n

Soluci\u00f3n:<\/p>\n

Al sustituir\u00a0x<\/em>\u00a0por 1, obtenemos el resultado 0\/2, as\u00ed que el l\u00edmite es 0:<\/p>\n

\"l\u00edmite<\/a><\/p>\n

L\u00edmite 2<\/h2>\n

<\/a><\/p>\n

Soluci\u00f3n:<\/p>\n

Sustituimos el punto:<\/p>\n

\"l\u00edmite<\/a><\/p>\n

Hemos escrito el signo\u00a0\u00b1\u00a0porque el signo del l\u00edmite depende del lado por el que nos aproximamos al punto.<\/p>\n

Si nos aproximamos por la derecha, el denominador es positivo y se aproxima a 0, as\u00ed que el l\u00edmite es +\u221e; por el otro lado, el l\u00edmite es -\u221e:<\/p>\n

\"l\u00edmites<\/a><\/p>\n

Como los l\u00edmites laterales no coinciden, no existe el l\u00edmite.<\/p>\n

L\u00edmite 3<\/h2>\n

<\/p>\n

Soluci\u00f3n:<\/p>\n

Tenemos la indeterminaci\u00f3n infinito menos infinito. <\/em>Sin embargo, como la funci\u00f3n exponencial crece mucho m\u00e1s r\u00e1pido que la funci\u00f3n logaritmo, la funci\u00f3n siempre es negativa (para x<\/em>\u00a0grandes) y, adem\u00e1s, cada vez es m\u00e1s negativa.<\/p>\n

Por tanto,<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

L\u00edmite 4<\/h2>\n

\"l\u00edmite<\/a><\/p>\n

Soluci\u00f3n:<\/p>\n

En el denominador tenemos una resta de infinitos.<\/p>\n

Podemos dividir el numerador y el denominador por la exponencial de mayor base, operaci\u00f3n que no cambia la funci\u00f3n:<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Al dividir entre la exponencial, tenemos exponenciales cuya base est\u00e1 entre 0 y 1, as\u00ed que tienden a 0 cuando x<\/em>\u00a0tiende a infinito positivo.<\/p>\n

 <\/p>\n

M\u00e1s ejemplos y temas de l\u00edmites:<\/strong><\/p>\n