{"id":655,"date":"2019-06-14T16:55:46","date_gmt":"2019-06-14T15:55:46","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/?page_id=655"},"modified":"2019-06-14T17:00:12","modified_gmt":"2019-06-14T16:00:12","slug":"infinito-menos-infinito","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/calculo-de-limites\/infinito-menos-infinito\/","title":{"rendered":"Infinito menos infinito"},"content":{"rendered":"

En esta p\u00e1gina proporcionamos algunos ejemplos de l\u00edmites con la forma indeterminada infinito menos infinito<\/em> y algunos m\u00e9todos que podemos utilizar para evitarla. Especialmente, hablamos sobre los l\u00edmites de polinomios y de restas de ra\u00edces.<\/p>\n

1. Indeterminaci\u00f3n infinito menos infinito<\/h1>\n

La expresi\u00f3n \u221e-\u221e\u00a0es una indeterminaci\u00f3n puesto aparece en el l\u00edmite de algunas funciones cuyo l\u00edmite es distinto. Por ejemplo,<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Las gr\u00e1ficas de estas funciones son<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Por tanto, los l\u00edmites anteriores son<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Es decir, tenemos la misma expresi\u00f3n algebraica (resta de infinitos), pero con resultados distintos.<\/p>\n

2. L\u00edmite de un polinomio<\/h1>\n

Como las potencias de infinitos son infinitos, la resta de infinitos suele aparecer en el l\u00edmite de los polinomios (cuando x<\/em>\u00a0tiende a infinito).<\/p>\n

 <\/p>\n

Dado un polinomio, cuando x<\/em>\u00a0toma valores grandes, los monomios que toman valores mayores (sin considerar el signo) son los que tienen mayor grado.<\/p>\n

Por ejemplo, consideremos la funci\u00f3n f(x) = x2 <\/sup>– x<\/em>. Damos valores a x<\/em>:<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

La funci\u00f3n toma valores cada vez mayores porque el monomio de grado 2 crece m\u00e1s r\u00e1pido que el de grado 1. Dicho en otras palabras, el infinito del monomio de grado 2 es de orden mayor que el del monomio de grado 1.<\/p>\n

Podemos deducir que el l\u00edmite es infinito positivo:<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Por tanto, para calcular el l\u00edmite, tenemos que fijarnos en el orden de los infinitos. En el l\u00edmite\u00a0de un polinomio<\/strong>, la resta de infinitos es el infinito de mayor orden (el infinito que corresponde al monomio de grado mayor es el de mayor orden).<\/p>\n

Esto implica que, adem\u00e1s, el signo del resultado depende del coeficiente del monomio de grado mayor. Por ejemplo,<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Cuando x<\/em>\u00a0tiende a infinito negativo, es un poco m\u00e1s complicado. En este caso, lo m\u00e1s sencillo es sustituir, calcular los signos (depende de la paridad de las potencias) y comparar el orden de cada infinito.<\/p>\n

Por ejemplo,<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

El resultado es infinito positivo porque el signo del infinito de mayor orden es positivo.<\/p>\n

3. L\u00edmite de una resta de ra\u00edces<\/h1>\n

Otro ejemplo t\u00edpico de la indeterminaci\u00f3n \u221e-\u221e\u00a0es el de la resta de ra\u00edces. Por ejemplo,<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

En estos l\u00edmites, suele ser suficiente operar para transformar la resta de ra\u00edces en una suma. En el caso de las ra\u00edces cuadradas, multiplicamos y dividimos por la suma de ra\u00edces.<\/p>\n

Por ejemplo,<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

De este modo, la indeterminaci\u00f3n desaparece:<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

El resultado del l\u00edmite es el coeficiente principal puesto que el grado de numerador y denominador son iguales.<\/p>\n

Si las ra\u00edces son de otro orden, tenemos que utilizar las f\u00f3rmulas que les corresponden. Por ejemplo, para ra\u00edces c\u00fabicas,<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

4. Otros ejemplos<\/h1>\n

Ejemplo 1<\/h2>\n

<\/a><\/p>\n

Soluci\u00f3n:<\/p>\n

Tambi\u00e9n tenemos la indeterminaci\u00f3n\u00a0infinito menos infinito:<\/em><\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Como se trata de una resta de fracciones, podemos operar para convertirla en una \u00fanica fracci\u00f3n:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Por tanto,<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Ejemplo 2<\/h2>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Soluci\u00f3n:<\/p>\n

Tenemos la indeterminaci\u00f3n infinito menos infinito:<\/em><\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Sin embargo, una exponencial crece m\u00e1s r\u00e1pidamente que un polinomio cuando\u00a0\u00a0toma valores grandes, \u00a0independientemente de que el grado del exponente sea muy grande, as\u00ed que<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

 <\/p>\n

M\u00e1s ejemplos y temas de l\u00edmites:<\/strong><\/p>\n