{"id":718,"date":"2019-06-19T08:51:54","date_gmt":"2019-06-19T07:51:54","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/?page_id=718"},"modified":"2019-06-19T08:53:56","modified_gmt":"2019-06-19T07:53:56","slug":"ecuaciones-logaritmicas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/logaritmos\/ecuaciones-logaritmicas\/","title":{"rendered":"Ecuaciones logar\u00edtmicas"},"content":{"rendered":"<p style=\"text-align: justify\">En esta p\u00e1gina explicamos qu\u00e9 es una ecuaci\u00f3n logar\u00edtmica y resolvemos tres ecuaciones representativas. Es necesario conocer las propiedades de los logaritmos, el cambio de base de los logaritmos y las propiedades de las potencias.<\/p>\n<h1>1. Introducci\u00f3n<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify\">Una\u00a0<strong>ecuaci\u00f3n logar\u00edtmica<\/strong>\u00a0es una ecuaci\u00f3n cuya inc\u00f3gnita (o inc\u00f3gnitas) se encuentra multiplicando o dividiendo a los logaritmos, en sus bases o en el argumento de los logaritmos (dentro de los logaritmos).<\/p>\n<p><strong>Ejemplos<\/strong> de ecuaciones logar\u00edtmicas:<\/p>\n<ul>\n<li>Inc\u00f3gnita en el argumento:<br \/>\n<a href=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/ecuaciones\/resolucion-ecuaciones-logaritmicas-resueltas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/F\/f4\/t1.png\" alt=\"ecuaciones logar\u00edtmicas resueltas y explicadas\" width=\"178\" height=\"28\" \/><\/a><br \/>\nLa soluci\u00f3n es <em>x = 2.<\/em><\/li>\n<li>Inc\u00f3gnita en la base:<br \/>\n<a href=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/ecuaciones\/resolucion-ecuaciones-logaritmicas-resueltas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/F\/f4\/t2.png\" alt=\"ecuaciones logar\u00edtmicas resueltas y explicadas\" width=\"123\" height=\"28\" \/><\/a><br \/>\nLa soluci\u00f3n es <em>x = ra\u00edz c\u00fabica de 7.<\/em><\/li>\n<li>Inc\u00f3gnita multiplicando al logaritmo:<br \/>\n<a href=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/ecuaciones\/resolucion-ecuaciones-logaritmicas-resueltas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/F\/f4\/t3.png\" alt=\"ecuaciones logar\u00edtmicas resueltas y explicadas\" width=\"270\" height=\"28\" \/><\/a><br \/>\nLa soluci\u00f3n es <em>x = 5\/log(3).<\/em><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify\">Como ya dijimos anteriormente, para poder resolver ecuaciones logar\u00edtmicas, necesitamos conocer las <a href=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/propiedades\/propiedades-producto-division-potencia-ejercicios-resueltos.html\">propiedades de los logaritmos<\/a> (incluyendo el <a href=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/cambio\/formula-ejemplos-ejercicios-resueltos-cambio-base-decimal-natural.html\">cambio de base<\/a>) y las <a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/potencias\/potencias-ejemplos-ejercicios-resueltos-calcular-propiedades-producto-cociente-simplificar-exponente-base-multiplicar.html\">propiedades de las potencias<\/a>.<\/p>\n<h1>2. Ecuaciones resueltas<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify\">El m\u00e9todo que vamos a seguir es operar en la ecuaci\u00f3n hasta obtener, si es posible, una igualdad entre dos logaritmos en la misma base (si no se indica, consideramos que la base es 10):<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/ecuaciones\/resolucion-ecuaciones-logaritmicas-resueltas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/F\/f4\/t4.png\" alt=\"ecuaciones logar\u00edtmicas resueltas y explicadas\" width=\"180\" height=\"29\" \/><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: justify\">Llegados a este punto, podemos, l\u00f3gicamente, igualar los argumentos de los logaritmos:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium aligncenter\" src=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/F\/f4\/t5.png\" width=\"63\" height=\"19\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify\">Para terminar, comprobamos que la soluci\u00f3n obtenida no hace que los argumentos de los logaritmos de la ecuaci\u00f3n inicial sean no positivos (porque \u00e9stos deben ser siempre positivos).<\/p>\n<h2>Ecuaci\u00f3n 1<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/ecuaciones\/resolucion-ecuaciones-logaritmicas-resueltas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/F\/f4\/E1.png\" alt=\"ecuaci\u00f3n logar\u00edtmica\" width=\"346\" height=\"28\" \/><\/a><\/p>\n<p>Soluci\u00f3n:<\/p>\n<p>Como la suma de logaritmos es el logaritmo del producto,<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/ecuaciones\/resolucion-ecuaciones-logaritmicas-resueltas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/F\/f4\/E1-1.png\" alt=\"ecuaciones logar\u00edtmicas resueltas y explicadas\" width=\"198\" height=\"61\" \/><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: justify\">Como ya tenemos una igualdad entre dos logaritmos en la misma base, igualamos sus argumentos:<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.ecuacionesresueltas.com\/\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/F\/f4\/E1-2.png\" alt=\"ecuaci\u00f3n de primer grado\" width=\"107\" height=\"15\" \/><\/a><\/p>\n<p>Resolvemos la <a href=\"https:\/\/www.ecuacionesresueltas.com\/\">ecuaci\u00f3n de primer grado<\/a>:<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.ecuacionesresueltas.com\/\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/F\/f4\/E1-3.png\" alt=\"ecuaci\u00f3n de primer grado\" width=\"107\" height=\"49\" \/><\/a><\/p>\n<p>Por tanto, la soluci\u00f3n es <em>x=-1<\/em>.<\/p>\n<p>Para terminar, comprobamos que los argumentos son positivos:<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/ecuaciones\/resolucion-ecuaciones-logaritmicas-resueltas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/F\/f4\/E1-4.png\" alt=\"ecuaciones logar\u00edtmicas resueltas y explicadas\" width=\"171\" height=\"50\" \/><\/a><\/p>\n<h2>Ecuaci\u00f3n 2<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/ecuaciones\/resolucion-ecuaciones-logaritmicas-resueltas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/F\/f4\/E2.png\" alt=\"ecuaci\u00f3n logar\u00edtmica\" width=\"249\" height=\"27\" \/><\/a><\/p>\n<p>Soluci\u00f3n:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify\">Recordad que un n\u00famero que multiplica a un logaritmo puede escribirse como el exponente de su argumento:<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/ecuaciones\/resolucion-ecuaciones-logaritmicas-resueltas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/F\/f4\/E2-1.png\" alt=\"ecuaciones logar\u00edtmicas resueltas y explicadas\" width=\"160\" height=\"21\" \/><\/a><\/p>\n<p>Igualamos argumentos:<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.ecuacionesresueltas.com\/segundo-grado\/nivel-1\/ecuaciones-segundo-grado-cuadraticas-completas-incompletas-explicadas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/F\/f4\/E2-2.png\" alt=\"ecuaci\u00f3n de segundo grado\" width=\"122\" height=\"57\" \/><\/a><\/p>\n<p>Resolvemos la <a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/Ecuaciones\/segundo-grado\/problemas-ecuaciones-segundo-grado-resueltas-solucion-formula-raices-factorizar.html\">ecuaci\u00f3n de segundo grado completa<\/a>:<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.ecuacionesresueltas.com\/segundo-grado\/nivel-4\/ecuaciones-segundo-grado-cuadraticas-completas-formula-resueltas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/F\/f4\/E2-3.png\" alt=\"ecuaci\u00f3n de segundo grado \" width=\"205\" height=\"194\" \/><\/a><\/p>\n<p>Tenemos dos soluciones: \u00a0<em>x=3 <\/em>y <em>x=-5<\/em>.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify\">La segunda soluci\u00f3n (la negativa) no es buena porque hace que el argumento del logaritmo del lado derecho de la ecuaci\u00f3n sea negativo.<\/p>\n<p>La soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n logar\u00edtmica es <em>x=3<\/em>.<\/p>\n<h2>Ecuaci\u00f3n 3<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/ecuaciones\/resolucion-ecuaciones-logaritmicas-resueltas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/F\/f4\/E3.png\" alt=\"ecuaci\u00f3n logar\u00edtmica\" width=\"124\" height=\"30\" \/><\/a><\/p>\n<p>Soluci\u00f3n:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify\">Como la inc\u00f3gnita est\u00e1 en la base del logaritmo, tiene que ser positiva y distinta de 1.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify\">Para resolver esta ecuaci\u00f3n, aplicamos un cambio de base en el logaritmo. Recordad la f\u00f3rmula para cambiar la base:<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/cambio\/formula-ejemplos-ejercicios-resueltos-cambio-base-decimal-natural.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/F\/f4\/E3-1.png\" alt=\"cambio de base de logaritmo\" width=\"116\" height=\"44\" \/><\/a><\/p>\n<p>Cambiamos a base 7:<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/cambio\/formula-ejemplos-ejercicios-resueltos-cambio-base-decimal-natural.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/F\/f4\/E3-2.png\" alt=\"cambio de base de logaritmos\" width=\"147\" height=\"107\" \/><\/a><\/p>\n<p>Por tanto, tenemos la ecuaci\u00f3n logar\u00edtmica<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/ecuaciones\/resolucion-ecuaciones-logaritmicas-resueltas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/F\/f4\/E3-3.png\" alt=\"ecuaciones logar\u00edtmicas resueltas y explicadas\" width=\"88\" height=\"42\" \/><\/a><\/p>\n<p>Pasamos el denominador al otro lado:<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/ecuaciones\/resolucion-ecuaciones-logaritmicas-resueltas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/F\/f4\/E3-4.png\" alt=\"ecuaciones logar\u00edtmicas resueltas y explicadas\" width=\"100\" height=\"20\" \/><\/a><\/p>\n<p>Escribimos el 3 en el argumento:<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/ecuaciones\/resolucion-ecuaciones-logaritmicas-resueltas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/F\/f4\/E3-5.png\" alt=\"ecuaciones logar\u00edtmicas resueltas y explicadas\" width=\"87\" height=\"21\" \/><\/a><\/p>\n<p>Escribimos el 1 como un logaritmo en base 7:<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/ecuaciones\/resolucion-ecuaciones-logaritmicas-resueltas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/F\/f4\/E3-6.png\" alt=\"ecuaciones logar\u00edtmicas resueltas y explicadas\" width=\"127\" height=\"21\" \/><\/a><\/p>\n<p>Igualamos argumentos y resolvemos la ecuaci\u00f3n:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/F\/f4\/E3-7.png\" alt=\"\" width=\"62\" height=\"54\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify\">El argumento del logaritmo es positivo para esta soluci\u00f3n, as\u00ed que hemos hallado la soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n logar\u00edtmica.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>M\u00e1s ecuaciones resueltas:<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/ecuaciones\/resolucion-ecuaciones-logaritmicas-resueltas.html\">25 ecuaciones logar\u00edtmicas resueltas<\/a><\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/logaritmo.info\/\">Logaritmos y ecuaciones logar\u00edtmicas<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/logaritmos\/ejercicios-resueltos-sistemas-ecuaciones-logaritmicas.html\">Ecuaciones logar\u00edtmicas y sistemas<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Enlaces a problemas\/ejercicios resueltos de logaritmos:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/concepto\/calcular-logaritmos-ejemplos-decimal-binario-natural-ejercicios-resueltos.html\">Concepto y c\u00e1lculo de logaritmos<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/propiedades\/propiedades-producto-division-potencia-ejercicios-resueltos.html\">Propiedades de los logaritmos<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/cambio\/formula-ejemplos-ejercicios-resueltos-cambio-base-decimal-natural.html\">Ejercicios de cambio de base del logaritmo<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/sistemas\/sistemas-ecuaciones-logaritmicas-resueltos-explicados.html\">Sistemas de ecuaciones logar\u00edtmicas resueltos<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/logaritmos\/ejercicios-resueltos-sistemas-ecuaciones-logaritmicas.html\">Ecuaciones y sistemas de ecuaciones logar\u00edtmicas<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.logaritmo.info\/funcion\/funcion-logaritmo-dominio-imagen-derivada-integral.html\">La funci\u00f3n logaritmo<\/a><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>En esta p\u00e1gina explicamos qu\u00e9 es una ecuaci\u00f3n logar\u00edtmica y resolvemos tres ecuaciones representativas. 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