{"id":740,"date":"2019-06-20T08:42:47","date_gmt":"2019-06-20T07:42:47","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/?page_id=740"},"modified":"2021-08-30T09:21:51","modified_gmt":"2021-08-30T08:21:51","slug":"sistema-de-ecuaciones-logaritmicas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/logaritmos\/sistema-de-ecuaciones-logaritmicas\/","title":{"rendered":"Sistema de ecuaciones logar\u00edtmicas"},"content":{"rendered":"

En esta p\u00e1gina resolvemos detalladamente dos sistemas de ecuaciones logar\u00edtmicas.<\/p>\n

1. Introducci\u00f3n<\/h1>\n

Recordad que una ecuaci\u00f3n logar\u00edtmica<\/a> es una ecuaci\u00f3n en la que la o las inc\u00f3gnitas aparecen multiplicando\/dividiendo a logaritmos, en sus bases o en sus argumentos.<\/p>\n

Un sistema de ecuaciones logar\u00edtmicas<\/strong> es un conjunto de ecuaciones logar\u00edtmicas cuya soluci\u00f3n es soluci\u00f3n de todas las ecuaciones logar\u00edtmicas.<\/p>\n

Para poder resolver estos sistemas, necesitamos conocer las propiedades de los logaritmos<\/a> (incluyendo el cambio de base<\/a>) y las propiedades de las potencias<\/a>.<\/p>\n

2. Ejemplos de sistemas<\/h1>\n

Sistema 1<\/h2>\n

\"Sistemas<\/a><\/p>\n

Soluci\u00f3n:<\/p>\n

El sistema est\u00e1 formado por dos ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas (x<\/em>\u00a0e y<\/em>).<\/p>\n

Escribimos los t\u00e9rminos independientes (3 y 1) como logaritmos en base 10 para tener igualdades entre logaritmos en la misma base:\"\"<\/a><\/p>\n

Reescribimos el sistema:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Dos logaritmos en la misma base son iguales si sus argumentos son iguales. Por tanto, podemos igualar los argumentos de los logaritmos de cada ecuaci\u00f3n:<\/p>\n

\"Sistemas<\/a><\/p>\n

Observad que el sistema obtenido no es lineal, pero es f\u00e1cil resolverlo, por ejemplo, por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n<\/a>.<\/p>\n

De la segunda ecuaci\u00f3n tenemos<\/p>\n

\"Sistemas<\/a><\/p>\n

Sustituimos en la primera:<\/p>\n

\"Sistemas<\/a><\/p>\n

Haciendo la ra\u00edz cuadrada, tenemos dos soluciones para y<\/em>:<\/p>\n

\"Sistemas<\/a><\/p>\n

Sustituyendo en la primera ecuaci\u00f3n, hallamos la otra inc\u00f3gnita: si y=10<\/em>, entonces x=100<\/em>; si y=-10<\/em>, entonces x=-100<\/em>.<\/p>\n

Como los argumentos de los logaritmos del sistema inicial son positivos para las soluciones encontradas, el sistema tiene dos soluciones.<\/p>\n

Una soluci\u00f3n es<\/p>\n

\"Sistemas<\/a><\/p>\n

Y la otra es<\/p>\n

\"Sistemas<\/a><\/p>\n

Sistema 2<\/h2>\n

\"Sistemas<\/a><\/p>\n

Soluci\u00f3n:<\/p>\n

Escribimos los t\u00e9rminos independientes (2 y 1) como logaritmos en base 2:<\/p>\n

\"Sistemas<\/a><\/p>\n

Como tenemos todos los logaritmos en la misma base, podemos aplicar las propiedades de la suma y la resta de logaritmos:<\/p>\n

\"Sistemas<\/a><\/p>\n

Igualamos los argumentos y resolvemos el sistema (de ecuaciones no lineales) por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n<\/a>.<\/p>\n

De la primera ecuaci\u00f3n,<\/p>\n

\"Sistemas<\/a><\/p>\n

De la segunda,<\/p>\n

\"Sistemas<\/a><\/p>\n

Sustituimos y<\/em>\u00a0en la segunda:<\/p>\n

\"Sistemas<\/a><\/p>\n

Por tanto, tenemos las soluciones x=2<\/em> y x=-2<\/em>. La negativa hay que descartarla porque har\u00eda que el argumento de un logaritmo sea negativo en el sistema inicial.<\/p>\n

Por tanto, x=2<\/em> y, sustituyendo, y=2<\/em>.<\/p>\n

As\u00ed que la \u00fanica soluci\u00f3n del sistema de ecuaciones logar\u00edtmicas es<\/p>\n

\"Sistemas<\/a><\/p>\n

 <\/p>\n

M\u00e1s ejemplos en sistemas de ecuaciones logar\u00edtmicas<\/a>.<\/p>\n

 <\/p>\n

Enlaces a problemas\/ejercicios resueltos de logaritmos:<\/strong><\/p>\n