{"id":818,"date":"2019-07-16T11:45:17","date_gmt":"2019-07-16T10:45:17","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/?page_id=818"},"modified":"2019-07-16T11:46:55","modified_gmt":"2019-07-16T10:46:55","slug":"limites-de-sucesiones","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/progresiones-o-sucesiones\/limites-de-sucesiones\/","title":{"rendered":"L\u00edmites de sucesiones"},"content":{"rendered":"<section class=\"row element-layout\">\n<div class=\"col s12\">\n<div class=\"text-element bbcode-adjustments element\" style=\"text-align: justify\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\">Los razonamientos que seguimos para el c\u00e1lculo de l\u00edmites de sucesiones son los mismos que los que seguimos para el de l\u00edmites de funciones (una sucesi\u00f3n es una funci\u00f3n definida sobre los naturales). Esto significa que en los l\u00edmites de las sucesiones pueden aparecer indeterminaciones que ya sabemos c\u00f3mo resolver:\u00a0<a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/limites\/ejercicios-resueltos-limites-1.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">c\u00e1lculo de l\u00edmites e indeterminaciones<\/a>.<\/span><\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div role=\"paragraph\"><\/div>\n<\/div>\n<\/section>\n<section class=\"row element-layout\">\n<div class=\"col s12\">\n<h2 class=\"element-title\">Recordatorio<\/h2>\n<div class=\"text-element bbcode-adjustments element\" role=\"paragraph\">\n<p><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\">Una sucesi\u00f3n\u00a0a(n)\u00a0es convergente a\u00a0L\u2260\u221e\u00a0(L\u00a0es finito) si<\/span><\/p>\n<p><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"> <a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/calculo-limites-sucesiones-definicion-distancia-terminos-menor-mayor-problemas-resueltos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/limites\/L1.png\" alt=\"\" width=\"116\" height=\"30\" \/><\/a><\/span><\/p>\n<p><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"> En este caso dice que la sucesi\u00f3n\u00a0a(n)\u00a0<b>converge<\/b>\u00a0a su l\u00edmite\u00a0L\u00a0y lo expresamos por\u00a0a(n)\u2192L. En caso contrario, la sucesi\u00f3n\u00a0<b>diverge<\/b>. <\/span><\/p>\n<p><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"><b>Aclaraciones:<\/b><\/span><\/p>\n<ul class=\"bbcode-list\">\n<li>Si el l\u00edmite de\u00a0a(n)\u00a0es\u00a0+\u221e\u00a0\u00f3\u00a0\u2212\u221e, la sucesi\u00f3n\u00a0<b>diverge<\/b>.<\/li>\n<li>Si el l\u00edmite de\u00a0a(n)\u00a0no existe, la sucesi\u00f3n\u00a0<b>diverge<\/b>.<\/li>\n<li>La sucesi\u00f3n\u00a0a(n)\u00a0s\u00f3lo converge cuando su l\u00edmite es\u00a0<b>finito<\/b>.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"><b>Nota:<\/b>\u00a0hacemos las anteriores aclaraciones ya que, para nosotros, la divergencia es la\u00a0<b>no convergencia<\/b>, as\u00ed que una sucesi\u00f3n es convergente o divergente. Algunos consideran que la divergencia es tener l\u00edmite infinito y, por tanto, una sucesi\u00f3n puede ser convergente (l\u00edmite finito), divergente (l\u00edmite infinito) o no convergente ni divergente (sin l\u00edmite).<\/span><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/section>\n<section class=\"row element-layout\">\n<div class=\"col s12\">\n<h2 class=\"text-element bbcode-adjustments element\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"><b>1. L\u00edmite de a(n) = 5\/n <\/b><\/span><\/h2>\n<div class=\"text-element bbcode-adjustments element\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"> El l\u00edmite de la sucesi\u00f3n es 0 porque el grado del denominador es mayor que el del numerador: <\/span><\/div>\n<div class=\"text-element bbcode-adjustments element\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/calculo-limites-sucesiones-definicion-distancia-terminos-menor-mayor-problemas-resueltos.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/limites\/P1-1.png\" alt=\"\" width=\"106\" height=\"46\" \/><\/a><\/span><\/div>\n<div role=\"paragraph\"><\/div>\n<h2 class=\"text-element bbcode-adjustments element\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"><b>2. L\u00edmite de a(n) = 3 &#8211; 2\/n <\/b><\/span><\/h2>\n<div class=\"text-element bbcode-adjustments element\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"> El l\u00edmite de la sucesi\u00f3n es el cociente de los coeficientes directores del numerador y del denominador (porque tienen el mismo grado): <\/span><\/div>\n<div class=\"text-element bbcode-adjustments element\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/calculo-limites-sucesiones-definicion-distancia-terminos-menor-mayor-problemas-resueltos.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/limites\/P1-2.png\" alt=\"\" width=\"179\" height=\"96\" \/><\/a><\/span><\/div>\n<h2 class=\"text-element bbcode-adjustments element\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"><b>3. L\u00edmite de a(n) = n<sup>2<\/sup>\/(n + 1) <\/b><\/span><\/h2>\n<div class=\"text-element bbcode-adjustments element\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"> El l\u00edmite de la sucesi\u00f3n es infinito porque el grado del numerador es mayor que el del denominador:<\/span><\/div>\n<div class=\"text-element bbcode-adjustments element\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/calculo-limites-sucesiones-definicion-distancia-terminos-menor-mayor-problemas-resueltos.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/limites\/P1-4.png\" alt=\"\" width=\"166\" height=\"51\" \/><\/a><\/span><\/div>\n<h2 class=\"text-element bbcode-adjustments element\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"><b>4. L\u00edmite de a(n) = (n<sup>2<\/sup> &#8211; 2)\/(2n<sup>2<\/sup> &#8211; 1)<\/b><\/span><\/h2>\n<div class=\"text-element bbcode-adjustments element\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\">El l\u00edmite de la sucesi\u00f3n es el cociente de los coeficientes directores del numerador y del denominador (porque tienen el mismo grado): <\/span><\/div>\n<div class=\"text-element bbcode-adjustments element\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/calculo-limites-sucesiones-definicion-distancia-terminos-menor-mayor-problemas-resueltos.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/limites\/P1-5.png\" alt=\"\" width=\"169\" height=\"50\" \/><\/a><\/span><\/div>\n<\/div>\n<div role=\"paragraph\"><\/div>\n<\/section>\n<section class=\"row element-layout\">\n<div class=\"col s12\">\n<h1 class=\"element-title\"><strong>L\u00edmites de sucesiones con ra\u00edces<\/strong><\/h1>\n<h2 class=\"text-element bbcode-adjustments element\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"><b>L\u00edmite 1<\/b><\/span><\/h2>\n<div class=\"text-element bbcode-adjustments element\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"> <a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/calculo-limites-sucesiones-definicion-distancia-terminos-menor-mayor-problemas-resueltos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/limites\/P5-1.png\" alt=\"\" width=\"159\" height=\"51\" \/><\/a><\/span><\/div>\n<div role=\"paragraph\"><\/div>\n<div class=\"text-element bbcode-adjustments element\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"> El grado del numerador es 1\/2 y el del denominador es 1. Por tanto, tiende a 0.<\/span><\/div>\n<div role=\"paragraph\"><\/div>\n<h2 class=\"text-element bbcode-adjustments element\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"><b>L\u00edmite 2<\/b><\/span><\/h2>\n<div role=\"paragraph\"><\/div>\n<div class=\"text-element bbcode-adjustments element\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"> <a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/calculo-limites-sucesiones-definicion-distancia-terminos-menor-mayor-problemas-resueltos.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/limites\/P5-3.png\" alt=\"\" width=\"160\" height=\"119\" \/><\/a><\/span><\/div>\n<div class=\"text-element bbcode-adjustments element\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"> El l\u00edmite es el cociente de los coeficientes directores porque el grado del numerador y el del numerador son el mismo (2\/3 = 4\/6).<\/span><\/div>\n<div role=\"paragraph\"><\/div>\n<h2 class=\"text-element bbcode-adjustments element\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"><b>L\u00edmite 3<\/b><\/span><\/h2>\n<div role=\"paragraph\"><\/div>\n<div class=\"text-element bbcode-adjustments element\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"> <a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/calculo-limites-sucesiones-definicion-distancia-terminos-menor-mayor-problemas-resueltos.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/limites\/P5-5.png\" alt=\"\" width=\"186\" height=\"134\" \/><\/a><\/span><\/div>\n<\/div>\n<\/section>\n<section class=\"row element-layout\">\n<div class=\"col s12\">\n<div class=\"text-element bbcode-adjustments element\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"> Finalmente, calculamos el l\u00edmite de la sucesi\u00f3n<\/span><\/div>\n<div class=\"text-element bbcode-adjustments element\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"> <a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/calculo-limites-sucesiones-definicion-distancia-terminos-menor-mayor-problemas-resueltos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/limites\/P6.png\" alt=\"\" width=\"224\" height=\"57\" \/><\/a><\/span><\/div>\n<div class=\"text-element bbcode-adjustments element\" style=\"text-align: justify\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"> El grado del numerador y el del denominador son el mismo, pero tal y como est\u00e1 escrita la sucesi\u00f3n, no sabemos cu\u00e1l es el coeficiente director del denominador. Tenemos que operar un poco (multiplicar y dividir por el conjugado del denominador):<\/span><\/div>\n<div role=\"paragraph\"><\/div>\n<div class=\"text-element bbcode-adjustments element\" style=\"text-align: justify\" role=\"paragraph\"><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"> <a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/calculo-limites-sucesiones-definicion-distancia-terminos-menor-mayor-problemas-resueltos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/limites\/P6-1.png\" alt=\"\" width=\"301\" height=\"596\" \/><\/a><\/span><\/div>\n<div role=\"paragraph\"><\/div>\n<div role=\"paragraph\"><\/div>\n<\/div>\n<\/section>\n<section class=\"row element-layout\">\n<div class=\"col s12\">\n<div class=\"text-element bbcode-adjustments element\" role=\"paragraph\">\n<p><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\">M\u00e1s ejercicios: <a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/calculo-limites-sucesiones-definicion-distancia-terminos-menor-mayor-problemas-resueltos.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">C\u00e1lculo de l\u00edmites de sucesiones o progresiones<\/a> Otros temas de progresiones:<\/span><\/p>\n<ul class=\"bbcode-list\">\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/test1\/test-online-preguntas-sucesion-progresion-arimetica-geometrica-basico.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Test b\u00e1sico<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/convergente-divergente-oscilante-alternada-acotada-limite-creciente-decreciente-monotona-problemas-resueltos.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Tipos de sucesiones <\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/sucesion-aritmetica-formulas-ejemplos-problemas-resueltos.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Progresiones aritm\u00e9ticas<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/sucesion-geometrica-formulas-ejemplos-problemas-resueltos.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Progresiones geom\u00e9tricas<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/ejercicios-resueltos-sucesiones.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Problemas de progresiones aritm\u00e9ticas y geom\u00e9tricas<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/sucesion-Fibonacci-formulas-problemas-resueltos-suma-espiral-triangulo-Pascal.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Sucesi\u00f3n de Fibonacci<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/aritmeticas\/calculadoras\/calculadoras-online-sucesiones-aritmeticas-termino-general-diferencia-suma.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Calculadoras de progresiones aritm\u00e9ticas<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/progresiones\/geometricas\/calculadoras\/calculadoras-online-sucesiones-geometricas-termino-general-razon-suma.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Calculadoras de progresiones geom\u00e9tricas<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/operaciones-sucesiones-suma-diferencia-producto-cociente-limite-problemas-resueltos.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Operaciones entre sucesiones<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/calculo-limites-sucesiones-definicion-distancia-terminos-menor-mayor-problemas-resueltos.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">L\u00edmites de sucesiones<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/progresiones\/subsucesion-sucesion-parcial-convergente-propiedades-ejemplos-limites-problemas-resueltos.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Subsucesiones<\/a><\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/progresiones\/progresion-aritmetica-geometrica-sucesion-diferencia-razon-termino-general-problemas-resueltos.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Introducci\u00f3n a las sucesiones (PyE)<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p><span class=\"Linkify bbcode-adjustments\"><b>Criterios de convergencia:<\/b><\/span><\/p>\n<ul class=\"bbcode-list\">\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/UNI\/progresiones\/criterios\/criterio-media-aritmetica-convergencia-sucesiones-ejemplos-demostracion-problemas.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Criterio de la media aritm\u00e9tica<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/UNI\/progresiones\/criterios\/criterio-media-geometrica-raiz-sucesiones-ejemplos-demostracion-problemas-sucesiones-convergencia.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Criterios de la media geom\u00e9trica y de la ra\u00edz<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/UNI\/progresiones\/criterios\/criterio-Stolz-cociente-convergencia-sucesiones-ejemplos-limites.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Criterio de Stolz del cociente<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/section>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Los razonamientos que seguimos para el c\u00e1lculo de l\u00edmites de sucesiones son los mismos que los que seguimos para el de l\u00edmites de funciones (una sucesi\u00f3n es una funci\u00f3n definida sobre los naturales). Esto significa que en los l\u00edmites de las sucesiones pueden aparecer indeterminaciones que ya sabemos c\u00f3mo resolver:\u00a0c\u00e1lculo de l\u00edmites e indeterminaciones. &nbsp; &hellip; <\/p>\n<p class=\"link-more\"><a href=\"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/progresiones-o-sucesiones\/limites-de-sucesiones\/\" class=\"more-link\">Continue reading<span class=\"screen-reader-text\"> &#8220;L\u00edmites de sucesiones&#8221;<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":4324,"featured_media":0,"parent":251,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-818","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/818","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4324"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=818"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/818\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":823,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/818\/revisions\/823"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/251"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=818"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}