{"id":935,"date":"2019-12-08T22:53:44","date_gmt":"2019-12-08T21:53:44","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/?page_id=935"},"modified":"2019-12-10T08:48:02","modified_gmt":"2019-12-10T07:48:02","slug":"funciones-definidas-a-trozos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/funciones\/funciones-definidas-a-trozos\/","title":{"rendered":"Funciones definidas a trozos"},"content":{"rendered":"<p style=\"text-align: justify\">Una\u00a0<strong>funci\u00f3n definida a trozos<\/strong>\u00a0es una funci\u00f3n cuya definici\u00f3n cambia seg\u00fan el valor que toma la variable. Tambi\u00e9n, recibe el nombre de\u00a0<strong>funci\u00f3n definida por partes<\/strong>,\u00a0<strong>funci\u00f3n segmentada<\/strong>\u00a0y\u00a0<strong>funci\u00f3n seccionada<\/strong>, entre otros.<\/p>\n<p><strong>Ejemplo 1<\/strong><\/p>\n<p>Sea la funci\u00f3n<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/trozos\/funcion-definida-trozos-partes-segmentada-continuidad-limites-laterales-problemas-resueltos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"f(x) = -x si x\u2264 0 y f(x) = x si x &gt; 0\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/trozos\/T1.png\" alt=\"Explicamos el concepto de funci\u00f3n definida a trozos, proporcionamos ejemplos (con gr\u00e1ficas) y su continuidad. Tambi\u00e9n, resolvemos algunos problemas. Secundaria. Bachillerato. Matem\u00e1ticas.\" width=\"188\" height=\"44\" \/><\/a><\/p>\n<p>Para calcular la imagen de un punto <em>x<\/em>, usamos la primera definici\u00f3n si x\u22640\u00a0y la segunda si x&gt;0.<\/p>\n<p>Por ejemplo,<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/trozos\/funcion-definida-trozos-partes-segmentada-continuidad-limites-laterales-problemas-resueltos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"f(1)=1, f(-1)=1, f(0)=0, f(-5)=5, f(3)=3\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/trozos\/T2.png\" alt=\"Explicamos el concepto de funci\u00f3n definida a trozos, proporcionamos ejemplos (con gr\u00e1ficas) y su continuidad. Tambi\u00e9n, resolvemos algunos problemas. Secundaria. Bachillerato. Matem\u00e1ticas.\" width=\"187\" height=\"130\" \/><\/a><\/p>\n<p>Esta funci\u00f3n es la funci\u00f3n valor absoluto, <em>f(x) = |x|<\/em>.<\/p>\n<p>Tambi\u00e9n, podemos usar intervalos en lugar de desigualdades:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/trozos\/funcion-definida-trozos-partes-segmentada-continuidad-limites-laterales-problemas-resueltos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"funci\u00f3n valor absoluto escrita como una funci\u00f3n por partes\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/trozos\/T3.png\" alt=\"Explicamos el concepto de funci\u00f3n definida a trozos, proporcionamos ejemplos (con gr\u00e1ficas) y su continuidad. Tambi\u00e9n, resolvemos algunos problemas. Secundaria. Bachillerato. Matem\u00e1ticas.\" width=\"237\" height=\"48\" \/><\/a><\/p>\n<p>La gr\u00e1fica de la funci\u00f3n es<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/trozos\/funcion-definida-trozos-partes-segmentada-continuidad-limites-laterales-problemas-resueltos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"gr\u00e1fica de la funci\u00f3n valor absoluto\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/trozos\/g1.png\" alt=\"Explicamos el concepto de funci\u00f3n definida a trozos, proporcionamos ejemplos (con gr\u00e1ficas) y su continuidad. Tambi\u00e9n, resolvemos algunos problemas. Secundaria. Bachillerato. Matem\u00e1ticas.\" width=\"218\" height=\"193\" \/><\/a><\/p>\n<p>Observad que la parte de gr\u00e1fica donde x\u22640\u00a0coincide con la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n <em>y=-x<\/em>\u00a0y la parte donde x&gt;0\u00a0coincide con la de <em>y=x<\/em>.<\/p>\n<p><strong>Ejemplo 2<\/strong><\/p>\n<p>La siguiente funci\u00f3n est\u00e1 compuesta por una\u00a0<a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/lineales\/funcion-lineal-problemas-resueltos-grafica-pendiente-interseccion-ejes-paralelas.html\">funci\u00f3n lineal<\/a>\u00a0y una\u00a0<a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/parabolica\/funcion-cuadratica-parabolica-vertice-puntos-corte-canonica-factorizada-problemas-resueltos.html\">cuadr\u00e1tica<\/a>:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/trozos\/funcion-definida-trozos-partes-segmentada-continuidad-limites-laterales-problemas-resueltos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"f(x) = x+1 si x\u22641 y f(x) = x^2-2x si x&gt;1\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/trozos\/T4.png\" alt=\"Explicamos el concepto de funci\u00f3n definida a trozos, proporcionamos ejemplos (con gr\u00e1ficas) y su continuidad. Tambi\u00e9n, resolvemos algunos problemas. Secundaria. Bachillerato. Matem\u00e1ticas.\" width=\"226\" height=\"48\" \/><\/a><\/p>\n<p>Gr\u00e1fica:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/trozos\/funcion-definida-trozos-partes-segmentada-continuidad-limites-laterales-problemas-resueltos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"gr\u00e1fica de la funci\u00f3n a trozos f(x) = x+1 si x\u22641 y f(x) = x^2-2x si x&gt;1\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/trozos\/g2.png\" alt=\"Explicamos el concepto de funci\u00f3n definida a trozos, proporcionamos ejemplos (con gr\u00e1ficas) y su continuidad. Tambi\u00e9n, resolvemos algunos problemas. Secundaria. Bachillerato. Matem\u00e1ticas.\" width=\"212\" height=\"220\" \/><\/a><\/p>\n<p>Utilizamos el punto s\u00f3lido y el punto vac\u00edo para enfatizar que la imagen de 1 es 2 y no -1, puesto que hay que utilizar la primera definici\u00f3n de la funci\u00f3n.<\/p>\n<h1><strong>Continuidad<\/strong><\/h1>\n<p>La continuidad de una funci\u00f3n definida a trozos depende de la continuidad de las partes que la conforman y, adem\u00e1s, los puntos donde cambia la definici\u00f3n son posibles puntos de discontinuidad.<\/p>\n<p>Si <em>x=a<\/em> es un punto donde cambia la definici\u00f3n, la funci\u00f3n es continua en dicho punto si existen los l\u00edmites laterales y son iguales a la imagen de <em>x=a<\/em>, es decir,<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/trozos\/funcion-definida-trozos-partes-segmentada-continuidad-limites-laterales-problemas-resueltos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"los l\u00edmites laterales de f(x) cuando x tiende a x=a son iguales a f(a)\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/trozos\/T6.png\" alt=\"Explicamos el concepto de funci\u00f3n definida a trozos, proporcionamos ejemplos (con gr\u00e1ficas) y su continuidad. Tambi\u00e9n, resolvemos algunos problemas. Secundaria. Bachillerato. Matem\u00e1ticas.\" width=\"253\" height=\"32\" \/><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: left\" align=\"center\"><strong>Ejemplo 1<\/strong><\/p>\n<p>La funci\u00f3n de un ejemplo anterior<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/trozos\/funcion-definida-trozos-partes-segmentada-continuidad-limites-laterales-problemas-resueltos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"f(x)=x+1 si x\u22641 y f(x)=x^2-2x si x&gt;1\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/trozos\/T7.png\" alt=\"Explicamos el concepto de funci\u00f3n definida a trozos, proporcionamos ejemplos (con gr\u00e1ficas) y su continuidad. Tambi\u00e9n, resolvemos algunos problemas. Secundaria. Bachillerato. Matem\u00e1ticas.\" width=\"229\" height=\"47\" \/><\/a><\/p>\n<p>es discontinua en el punto <em>x=1<\/em>\u00a0puesto que los l\u00edmites laterales no coinciden:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/trozos\/funcion-definida-trozos-partes-segmentada-continuidad-limites-laterales-problemas-resueltos.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"los l\u00edmites laterales de f(x) cuando x=1 son 2 (por la izquierda) y -1 (por la derecha)\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/trozos\/T8.png\" alt=\"Explicamos el concepto de funci\u00f3n definida a trozos, proporcionamos ejemplos (con gr\u00e1ficas) y su continuidad. Tambi\u00e9n, resolvemos algunos problemas. Secundaria. Bachillerato. Matem\u00e1ticas.\" width=\"195\" height=\"154\" \/><\/a><\/p>\n<p>En los otros puntos, la funci\u00f3n es continua.<\/p>\n<p><strong>Ejemplo 2<\/strong><\/p>\n<p>En la funci\u00f3n valor absoluto, la definici\u00f3n cambia cuando <em>x=0<\/em>, pero los l\u00edmites laterales son iguales a <em>f(0)=0<\/em>.<\/p>\n<p style=\"text-align: left\" align=\"center\"><strong>Enlaces con problemas:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/dominio-recorrido\/dominio-recorrido-imagen-rango-funcion-ejemplos-problemas.html\">Dominio y recorrido<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/dominio\/ejercicios-resueltos-dominio-recorrido-imagen-funciones.html\">Dominio y recorrido<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/lineales\/funcion-lineal-problemas-resueltos-grafica-pendiente-interseccion-ejes-paralelas.html\">Funciones lineales<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/parabolica\/funcion-cuadratica-parabolica-vertice-puntos-corte-canonica-factorizada-problemas-resueltos.html\">Funciones cuadr\u00e1ticas<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/rectasparabolas\/problemas-resueltos-rectas-parabolas.html\">Rectas y par\u00e1bolas<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/polinomica\/problemas-resueltos-funcion-constante-lineal-cuadratica-cubica-cortes.html\">Funciones polin\u00f3micas<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/trozos\/funcion-definida-trozos-partes-segmentada-continuidad-limites-laterales-problemas-resueltos.html\">Funciones definidas a trozos<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/funciones\/trozos\/funciones-definidas-partes-trozos-intervalo-grafica-ejemplos-problemas-resueltos.html\">Funciones definidas a trozos<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/problemas\/problemas-resueltos-funciones-ejemplos-calcular-precio-lineal-parabolica-trozos.html\">Problemas de funciones<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/funciones\/problemas-resueltos-funciones-concepto-dominio-codominio-imagen-grafica.html\">Problemas de funciones<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/continua\/funciones-continuas-ejemplos-problemas-resueltos-grafica-partes.html\">Funciones continuas<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/resueltos-continuidad.htm\">Funciones continuas<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/inversa\/funcion-inyectiva-suprayectiva-sobreyectiva-inversa-ejemplos-problemas-resueltos-calcular.html\">Funci\u00f3n inversa<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/funciones\/inversa\/funcion-inversa-definicion-biyectiva-calcular-problemas-resueltos-demostrar-dominio.html\">Funci\u00f3n inversa<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/biyectiva\/tipos-funcion-aplicacion-inyectiva-sobreyectiva-biyectiva-inversa.html\">Funci\u00f3n inyectiva, sobreyectiva y biyectiva<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/asintotas\/asintota-horizontal-vertical-oblicua-ejemplos-problemas-resueltos-funciones-limites.html\">As\u00edntotas<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/funciones\/asintota\/asintota-horizontal-vertical-ejemplos-limites-graficas-funciones-problemas-resueltos-demostraciones.html\">As\u00edntotas<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/maximo-minimo-punto-critico-problemas-resueltos-ejemplos-regla-derivada.html\">M\u00e1ximos y m\u00ednimos<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/resueltos-extremos.htm\">M\u00e1ximos y m\u00ednimos<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/DCMonotonia.htm\">Criterio de la primera derivada<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/demostracion-criterio-extremo.htm\">Criterio de la segunda derivada<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/optimizar\/problemas-resueltos-optimizar-maximizar-minimizar-funciones-extremos-derivada.html\">Problemas de optimizar<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/optimizar\/problemas-resueltos-optimizar-extremos-maximo-minimo-derivada-creciente-decreciente-monotonia.html\">Problemas de optimizar<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/limites\/calculo-limites-explicados-metodos-reglas-procedimientos-indeterminaciones-grados-infinito-resueltos.html\">L\u00edmites<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/limites\/\">L\u00edmites<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/par\/funcion-par-impar-ejemplos-problemas-resueltos-grafica-simetria.html\">Funci\u00f3n par y funci\u00f3n impar<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ERCDerivadas.htm\">C\u00e1lculo de derivadas<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/emparedado\/teorema-emparedado-sandwich-demostracion-limites-series-convergente-ejemplos.html\">Teorema del emparedado<\/a><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Una\u00a0funci\u00f3n definida a trozos\u00a0es una funci\u00f3n cuya definici\u00f3n cambia seg\u00fan el valor que toma la variable. Tambi\u00e9n, recibe el nombre de\u00a0funci\u00f3n definida por partes,\u00a0funci\u00f3n segmentada\u00a0y\u00a0funci\u00f3n seccionada, entre otros. Ejemplo 1 Sea la funci\u00f3n Para calcular la imagen de un punto x, usamos la primera definici\u00f3n si x\u22640\u00a0y la segunda si x&gt;0. 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