{"id":964,"date":"2019-12-09T10:01:24","date_gmt":"2019-12-09T09:01:24","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/?page_id=964"},"modified":"2019-12-10T10:14:49","modified_gmt":"2019-12-10T09:14:49","slug":"maximos-y-minimos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/maximos-y-minimos\/","title":{"rendered":"M\u00e1ximos y m\u00ednimos"},"content":{"rendered":"<h1><strong>Extremos relativos<\/strong><\/h1>\n<p style=\"text-align: justify\">Un punto <em>a<\/em> es un <strong>m\u00e1ximo relativo<\/strong> de la funci\u00f3n <em>f<\/em> si <em>f(a)\u2265f(x)<\/em> para los <em>x<\/em> cercanos a <em>a<\/em>. Es un <strong>m\u00ednimo relativo<\/strong> si <em>f(a)\u2264f(x)<\/em>.<\/p>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong><\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/maximo-minimo-punto-critico-problemas-resueltos-ejemplos-regla-derivada.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"gr\u00e1fica y extremos relativos de la funci\u00f3n f(x) = x^3 - 3x^2\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/g1.png\" alt=\"Definimos extremos relativos y absolutos de una funci\u00f3n y enunciamos las reglas de la primera y segunda derivada. Proporcionamos ejemplos y resolvemos algunos problemas. Bachillerato y universidad. An\u00e1lisis de una variable. Matem\u00e1ticas.\" width=\"227\" height=\"308\" \/><\/a><\/p>\n<p>La funci\u00f3n tiene un m\u00e1ximo relativo en (0, 0) y un m\u00ednimo relativo en (2, -4).<\/p>\n<p>Observad que <em>x=0<\/em> es un m\u00e1ximo en los puntos de su alrededor, pero no en todos, ya que, por ejemplo,<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/maximo-minimo-punto-critico-problemas-resueltos-ejemplos-regla-derivada.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"f(4) = 16 &gt; 0 = f(0)\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/T1.png\" alt=\"Definimos extremos relativos y absolutos de una funci\u00f3n y enunciamos las reglas de la primera y segunda derivada. Proporcionamos ejemplos y resolvemos algunos problemas. Bachillerato y universidad. An\u00e1lisis de una variable. Matem\u00e1ticas.\" width=\"183\" height=\"22\" \/><\/a><\/p>\n<h1 style=\"text-align: left\" align=\"center\"><strong>Extremos absolutos<\/strong><\/h1>\n<p>Si <em>a<\/em> es un m\u00ednimo (o un m\u00e1ximo) para todo <em>x<\/em> del dominio de <em>f<\/em>,\u00a0se dice que es un m\u00ednimo absoluto (o un m\u00e1ximo absoluto).<\/p>\n<p>Es decir,<\/p>\n<ul>\n<li><em>a<\/em> es un <strong>m\u00ednimo absoluto<\/strong> de <em>f<\/em> si<\/li>\n<\/ul>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/maximo-minimo-punto-critico-problemas-resueltos-ejemplos-regla-derivada.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"a es un m\u00ednimo absoluto si f(a)\u2264f(x) para todo x\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/T4.png\" alt=\"Definimos extremos relativos y absolutos de una funci\u00f3n y enunciamos las reglas de la primera y segunda derivada. Proporcionamos ejemplos y resolvemos algunos problemas. Bachillerato y universidad. An\u00e1lisis de una variable. Matem\u00e1ticas.\" width=\"159\" height=\"22\" \/><\/a><\/p>\n<ul>\n<li><em>a<\/em> es un\u00a0<strong>m\u00e1ximo absoluto<\/strong> de <em>f<\/em> si\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/maximo-minimo-punto-critico-problemas-resueltos-ejemplos-regla-derivada.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"a es un m\u00e1ximo absoluto si f(a)\u2265f(x) para todo x\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/T5.png\" alt=\"Definimos extremos relativos y absolutos de una funci\u00f3n y enunciamos las reglas de la primera y segunda derivada. Proporcionamos ejemplos y resolvemos algunos problemas. Bachillerato y universidad. An\u00e1lisis de una variable. Matem\u00e1ticas.\" width=\"159\" height=\"22\" \/><\/a><\/p>\n<\/li>\n<li><em>a<\/em>\u00a0es un\u00a0<strong>extremo absoluto<\/strong> de <em>f<\/em> si es un m\u00ednimo absoluto o un m\u00e1ximo absoluto.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Nota:<\/strong>\u00a0observad que un extremo absoluto cumple la definici\u00f3n de extremo relativo.<\/p>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong><\/p>\n<p>Los extremos de la funci\u00f3n del ejemplo anterior no son absolutos.<\/p>\n<p>El v\u00e9rtice de una par\u00e1bola siempre es un extremo absoluto. Por ejemplo, la siguiente par\u00e1bola tiene un m\u00ednimo relativo en (-1, 1):<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/maximo-minimo-punto-critico-problemas-resueltos-ejemplos-regla-derivada.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"gr\u00e1fica y m\u00ednimo absoluto de la par\u00e1bola f(x) = x^2 + 2x + 2\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/g2.png\" alt=\"Definimos extremos relativos y absolutos de una funci\u00f3n y enunciamos las reglas de la primera y segunda derivada. Proporcionamos ejemplos y resolvemos algunos problemas. Bachillerato y universidad. An\u00e1lisis de una variable. Matem\u00e1ticas.\" width=\"195\" height=\"202\" \/><\/a><\/p>\n<h1 style=\"text-align: left\" align=\"center\"><strong>Regla de la primera derivada<\/strong><\/h1>\n<p>Si <em>f<\/em> es derivable en el intervalo<em> I=(a, b)<\/em>, entonces<\/p>\n<ul>\n<li><em>f<\/em> es creciente en <em>I<\/em> si\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/maximo-minimo-punto-critico-problemas-resueltos-ejemplos-regla-derivada.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"f es creciente si f'(x)&gt;0\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/T6.png\" alt=\"Definimos extremos relativos y absolutos de una funci\u00f3n y enunciamos las reglas de la primera y segunda derivada. Proporcionamos ejemplos y resolvemos algunos problemas. Bachillerato y universidad. An\u00e1lisis de una variable. Matem\u00e1ticas.\" width=\"169\" height=\"22\" \/><\/a><\/p>\n<\/li>\n<li><em>f<\/em> es decreciente en <em>I<\/em> si\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/maximo-minimo-punto-critico-problemas-resueltos-ejemplos-regla-derivada.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"f es decreciente si f'(x)&lt;0\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/T7.png\" alt=\"Definimos extremos relativos y absolutos de una funci\u00f3n y enunciamos las reglas de la primera y segunda derivada. Proporcionamos ejemplos y resolvemos algunos problemas. Bachillerato y universidad. An\u00e1lisis de una variable. Matem\u00e1ticas.\" width=\"169\" height=\"23\" \/><\/a><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>Por tanto, los candidatos para ser extremos son los puntos que anulan la derivada.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify\">Supongamos que f es derivable en <em>I=(a, b)<\/em>, \u00a0que <em>c\u2208I<\/em> es un punto cr\u00edtico (es decir, <em>f'(c)=0<\/em>). Entonces, pueden darse las siguientes situaciones (estudio del signo de la derivada en los intervalos <em>(a, c)<\/em> y <em>(c, b)<\/em>):<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/maximo-minimo-punto-critico-problemas-resueltos-ejemplos-regla-derivada.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"posible monoton\u00eda de una funci\u00f3n alrededor de un punto cr\u00edtico c\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/R1.png\" alt=\"Definimos extremos relativos y absolutos de una funci\u00f3n y enunciamos las reglas de la primera y segunda derivada. Proporcionamos ejemplos y resolvemos algunos problemas. Bachillerato y universidad. An\u00e1lisis de una variable. Matem\u00e1ticas.\" width=\"236\" height=\"282\" \/><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: justify\">Es decir, <em>c<\/em> es un <strong>m\u00e1ximo<\/strong> si la funci\u00f3n es <em>f<\/em> es creciente a su izquierda y decreciente a su derecha. Y es un <strong>m\u00ednimo<\/strong> si <em>f<\/em> es decreciente a su izquierda y creciente a su derecha.<\/p>\n<p>Para saber si <em>f&#8217;<\/em> es positiva o negativa un intervalo, s\u00f3lo tenemos que ver el signo de <em>f'(x)<\/em> de cualquier <em>x<\/em> de dicho intervalo.<\/p>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong><\/p>\n<p>Vamos a calcular los extremos de la funci\u00f3n<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/maximo-minimo-punto-critico-problemas-resueltos-ejemplos-regla-derivada.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"f(x) = 3xe^x\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/T8.png\" alt=\"Definimos extremos relativos y absolutos de una funci\u00f3n y enunciamos las reglas de la primera y segunda derivada. Proporcionamos ejemplos y resolvemos algunos problemas. Bachillerato y universidad. An\u00e1lisis de una variable. Matem\u00e1ticas.\" width=\"118\" height=\"22\" \/><\/a><\/p>\n<p>La primera derivada es<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/maximo-minimo-punto-critico-problemas-resueltos-ejemplos-regla-derivada.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"la derivada es f'(x) = 3e^x(1+x)\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/T9.png\" alt=\"Definimos extremos relativos y absolutos de una funci\u00f3n y enunciamos las reglas de la primera y segunda derivada. Proporcionamos ejemplos y resolvemos algunos problemas. Bachillerato y universidad. An\u00e1lisis de una variable. Matem\u00e1ticas.\" width=\"205\" height=\"61\" \/><\/a><\/p>\n<p>Igualamos a 0 y resolvemos la ecuaci\u00f3n para hallar los puntos cr\u00edticos:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/maximo-minimo-punto-critico-problemas-resueltos-ejemplos-regla-derivada.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"igualamos la derivada a 0: e^x(1+x)=0\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/T10.png\" alt=\"Definimos extremos relativos y absolutos de una funci\u00f3n y enunciamos las reglas de la primera y segunda derivada. Proporcionamos ejemplos y resolvemos algunos problemas. Bachillerato y universidad. An\u00e1lisis de una variable. Matem\u00e1ticas.\" width=\"137\" height=\"76\" \/><\/a><\/p>\n<p>La funci\u00f3n <em>e<sup>x<\/sup><\/em> nunca es igual a 0. Por tanto, el \u00fanico punto cr\u00edtico es <em>x=-1<\/em>.<\/p>\n<p>El punto cr\u00edtico divide los reales en dos intervalos:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/maximo-minimo-punto-critico-problemas-resueltos-ejemplos-regla-derivada.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"(-\u221e, -1)U(-1,+\u221e)\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/T11.png\" alt=\"Definimos extremos relativos y absolutos de una funci\u00f3n y enunciamos las reglas de la primera y segunda derivada. Proporcionamos ejemplos y resolvemos algunos problemas. Bachillerato y universidad. An\u00e1lisis de una variable. Matem\u00e1ticas.\" width=\"199\" height=\"22\" \/><\/a><\/p>\n<p>Evaluamos la derivada <em>f&#8217;<\/em> en un punto arbitrario de cada uno de los intervalos para saber si <em>f<\/em> es creciente o decreciente:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/maximo-minimo-punto-critico-problemas-resueltos-ejemplos-regla-derivada.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"f'(-2)&lt; 0 y f'(0)&gt; 0\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/T12.png\" alt=\"Definimos extremos relativos y absolutos de una funci\u00f3n y enunciamos las reglas de la primera y segunda derivada. Proporcionamos ejemplos y resolvemos algunos problemas. Bachillerato y universidad. An\u00e1lisis de una variable. Matem\u00e1ticas.\" width=\"196\" height=\"51\" \/><\/a><\/p>\n<p>Por tanto, <em>f<\/em> es mon\u00f3tona decreciente en el intervalo (-\u221e, -1) y mon\u00f3tona creciente en (-1, +\u221e).<\/p>\n<p>Como consecuencia, <em>x=-1<\/em> es un m\u00ednimo. Adem\u00e1s, por la monoton\u00eda de la funci\u00f3n, se deduce que es un m\u00ednimo absoluto.<\/p>\n<p>Gr\u00e1fica:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/maximo-minimo-punto-critico-problemas-resueltos-ejemplos-regla-derivada.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"gr\u00e1fica y m\u00ednimo absoluto de la funci\u00f3n f(x) = 3xe^x\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/g3.png\" alt=\"Definimos extremos relativos y absolutos de una funci\u00f3n y enunciamos las reglas de la primera y segunda derivada. Proporcionamos ejemplos y resolvemos algunos problemas. Bachillerato y universidad. An\u00e1lisis de una variable. Matem\u00e1ticas.\" width=\"186\" height=\"190\" \/><\/a><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p style=\"text-align: left\" align=\"center\"><strong>Enlaces con problemas de funciones:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/dominio-recorrido\/dominio-recorrido-imagen-rango-funcion-ejemplos-problemas.html\">Dominio y recorrido<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/dominio\/ejercicios-resueltos-dominio-recorrido-imagen-funciones.html\">Dominio y recorrido<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/lineales\/funcion-lineal-problemas-resueltos-grafica-pendiente-interseccion-ejes-paralelas.html\">Funciones lineales<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/parabolica\/funcion-cuadratica-parabolica-vertice-puntos-corte-canonica-factorizada-problemas-resueltos.html\">Funciones cuadr\u00e1ticas<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/rectasparabolas\/problemas-resueltos-rectas-parabolas.html\">Rectas y par\u00e1bolas<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/polinomica\/problemas-resueltos-funcion-constante-lineal-cuadratica-cubica-cortes.html\">Funciones polin\u00f3micas<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/trozos\/funcion-definida-trozos-partes-segmentada-continuidad-limites-laterales-problemas-resueltos.html\">Funciones definidas a trozos<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/funciones\/trozos\/funciones-definidas-partes-trozos-intervalo-grafica-ejemplos-problemas-resueltos.html\">Funciones definidas a trozos<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/problemas\/problemas-resueltos-funciones-ejemplos-calcular-precio-lineal-parabolica-trozos.html\">Problemas de funciones<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/funciones\/problemas-resueltos-funciones-concepto-dominio-codominio-imagen-grafica.html\">Problemas de funciones<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/continua\/funciones-continuas-ejemplos-problemas-resueltos-grafica-partes.html\">Funciones continuas<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/resueltos-continuidad.htm\">Funciones continuas<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/inversa\/funcion-inyectiva-suprayectiva-sobreyectiva-inversa-ejemplos-problemas-resueltos-calcular.html\">Funci\u00f3n inversa<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/funciones\/inversa\/funcion-inversa-definicion-biyectiva-calcular-problemas-resueltos-demostrar-dominio.html\">Funci\u00f3n inversa<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/biyectiva\/tipos-funcion-aplicacion-inyectiva-sobreyectiva-biyectiva-inversa.html\">Funci\u00f3n inyectiva, sobreyectiva y biyectiva<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/asintotas\/asintota-horizontal-vertical-oblicua-ejemplos-problemas-resueltos-funciones-limites.html\">As\u00edntotas<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/funciones\/asintota\/asintota-horizontal-vertical-ejemplos-limites-graficas-funciones-problemas-resueltos-demostraciones.html\">As\u00edntotas<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/maximo-minimo-punto-critico-problemas-resueltos-ejemplos-regla-derivada.html\">M\u00e1ximos y m\u00ednimos<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/resueltos-extremos.htm\">M\u00e1ximos y m\u00ednimos<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/DCMonotonia.htm\">Criterio de la primera derivada<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/demostracion-criterio-extremo.htm\">Criterio de la segunda derivada<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/optimizar\/problemas-resueltos-optimizar-maximizar-minimizar-funciones-extremos-derivada.html\">Problemas de optimizar<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/optimizar\/problemas-resueltos-optimizar-extremos-maximo-minimo-derivada-creciente-decreciente-monotonia.html\">Problemas de optimizar<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/limites\/calculo-limites-explicados-metodos-reglas-procedimientos-indeterminaciones-grados-infinito-resueltos.html\">L\u00edmites<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/limites\/\">L\u00edmites<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/par\/funcion-par-impar-ejemplos-problemas-resueltos-grafica-simetria.html\">Funci\u00f3n par y funci\u00f3n impar<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ERCDerivadas.htm\">C\u00e1lculo de derivadas<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/emparedado\/teorema-emparedado-sandwich-demostracion-limites-series-convergente-ejemplos.html\">Teorema del emparedado<\/a><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Extremos relativos Un punto a es un m\u00e1ximo relativo de la funci\u00f3n f si f(a)\u2265f(x) para los x cercanos a a. 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