{"id":976,"date":"2019-12-09T10:23:48","date_gmt":"2019-12-09T09:23:48","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/?page_id=976"},"modified":"2019-12-09T10:26:25","modified_gmt":"2019-12-09T09:26:25","slug":"criterio-de-la-primera-derivada","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/funciones\/criterio-de-la-primera-derivada\/","title":{"rendered":"Criterio de la primera derivada"},"content":{"rendered":"<div class=\"definicion\">\n<p>Sea <em>f<\/em> una funci\u00f3n continua en el intervalo <em>[a, b]<\/em> y derivable en <em>]a, b[<\/em>. Entonces,<\/p>\n<ul>\n<li>La funci\u00f3n <em>f<\/em> es mon\u00f3tona\u00a0<strong>creciente<\/strong> en el intervalo <em>]a, b[ <\/em>si, y s\u00f3lo si, <em>f'(x)\u22650<\/em> para todo <em>x\u2208]a, b[.<\/em><\/li>\n<li>La funci\u00f3n <em>f<\/em> es mon\u00f3tona <strong>decreciente<\/strong> en el intervalo <em>]a, b[ <\/em>si, y s\u00f3lo si, <em>f'(x)\u22640<\/em> para todo <em>x\u2208]a, b[.<\/em><\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<p><span style=\"font-size: 1rem\">Decimos que<\/span><i style=\"font-size: 1rem\"> c<em>\u2208]a, b[ <\/em><\/i><span style=\"font-size: 1rem\">es un<\/span><strong style=\"font-size: 1rem\">\u00a0punto cr\u00edtico<\/strong><span style=\"font-size: 1rem\"> si <em>f'(x)=0.<\/em><\/span><\/p>\n<div class=\"definicion\">\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Los puntos cr\u00edticos son los candidatos a ser extremos relativos (y absolutos) de la funci\u00f3n.<\/p>\n<h1><strong>Aplicaciones<\/strong><\/h1>\n<p>Adem\u00e1s de la proporcionar la monoton\u00eda de la funci\u00f3n, el criterio de la primera derivada se utiliza para hallar extremos relativos y determinar su tipo (m\u00e1ximo o m\u00ednimo).<\/p>\n<p>Si <em>c<\/em> es un punto cr\u00edtico de <em>f<\/em>, entonces:<\/p>\n<div class=\"definicion\">\n<ul>\n<li>Si <em>f<\/em> es creciente a la izquierda de <em>c<\/em> y decreciente a su derecha, <em>c<\/em> es un <strong>m\u00e1ximo<\/strong>.<\/li>\n<li>Si <em>f<\/em> es decreciente a la izquierda de <em>c<\/em> y creciente a su derecha, <em>c<\/em> es un <strong>m\u00ednimo<\/strong>.<\/li>\n<li>Si la monoton\u00eda de <em>f<\/em> es igual a ambos lados de <em>c<\/em>, entonces <em>c<\/em> no es un extremo relativo.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Ejemplo 1<\/strong><\/p>\n<p>Demostrar que la siguiente funci\u00f3n es mon\u00f3tona creciente para <em>x&gt;4\/9<\/em>:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/DCMonotonia.htm\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"f(x) = x^3\/2 - x^2\/3\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/primera-derivada\/E0.png\" alt=\"Enunciamos y demostramos la regla o criterio de la primera derivada y proporcionamos algunos ejemplos. El criterio proporciona la monoton\u00eda de la funci\u00f3n y deducir la existencia de extremos relativos (m\u00e1ximos y m\u00ednimos). Matem\u00e1ticas. An\u00e1lisis y c\u00e1lculo diferencial.\" width=\"142\" height=\"49\" \/><\/a><\/p>\n<p>Derivamos la funci\u00f3n:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/DCMonotonia.htm\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"calculamos la derivada: f'(x) = 3x^2\/2 - 2x\/3\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/primera-derivada\/E0-1.png\" alt=\"Enunciamos y demostramos la regla o criterio de la primera derivada y proporcionamos algunos ejemplos. El criterio proporciona la monoton\u00eda de la funci\u00f3n y deducir la existencia de extremos relativos (m\u00e1ximos y m\u00ednimos). Matem\u00e1ticas. An\u00e1lisis y c\u00e1lculo diferencial.\" width=\"163\" height=\"49\" \/><\/a><\/p>\n<p>Calculamos los puntos cr\u00edticos:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/DCMonotonia.htm\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"resolvemos la ecuaci\u00f3n 3x^2\/2 - 2x\/3 = 0, obteniendo las soluciones x=0 y x=4\/9\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/primera-derivada\/E0-2.png\" alt=\"Enunciamos y demostramos la regla o criterio de la primera derivada y proporcionamos algunos ejemplos. El criterio proporciona la monoton\u00eda de la funci\u00f3n y deducir la existencia de extremos relativos (m\u00e1ximos y m\u00ednimos). Matem\u00e1ticas. An\u00e1lisis y c\u00e1lculo diferencial.\" width=\"133\" height=\"169\" \/><\/a><\/p>\n<p>El signo de la derivada se mantiene constante en el intervalo x&gt;4\/9. Determinamos su signo calculando la imagen de cualquier punto de dicho intervalo:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/DCMonotonia.htm\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" style=\"max-width: 100%\" title=\"f'(1) = 5\/6 &gt;0\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/primera-derivada\/E0-3.png\" alt=\"Enunciamos y demostramos la regla o criterio de la primera derivada y proporcionamos algunos ejemplos. El criterio proporciona la monoton\u00eda de la funci\u00f3n y deducir la existencia de extremos relativos (m\u00e1ximos y m\u00ednimos). Matem\u00e1ticas. An\u00e1lisis y c\u00e1lculo diferencial.\" width=\"200\" height=\"47\" \/><\/a><\/p>\n<p>Por tanto, la funci\u00f3n <em>f<\/em> es mon\u00f3tona creciente en el intervalo (4\/9, +\u221e).<\/p>\n<p>Gr\u00e1fica:<\/p>\n<p align=\"center\"><img decoding=\"async\" title=\"gr\u00e1fica de la funci\u00f3n f(x) = x^3\/2 - x^2\/3\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/primera-derivada\/E0g.png\" alt=\"Enunciamos y demostramos la regla o criterio de la primera derivada y proporcionamos algunos ejemplos. El criterio proporciona la monoton\u00eda de la funci\u00f3n y deducir la existencia de extremos relativos (m\u00e1ximos y m\u00ednimos). Matem\u00e1ticas. An\u00e1lisis y c\u00e1lculo diferencial.\" \/><\/p>\n<p><strong>Nota:<\/strong> no hemos estudiado la monoton\u00eda en el resto de los reales.<\/p>\n<p><strong>Ejemplo 2<\/strong><\/p>\n<p>Hallar los extremos de la siguiente funci\u00f3n polin\u00f3mica:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/DCMonotonia.htm\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"f(x) = 3x^3 - x\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/primera-derivada\/E1.png\" alt=\"Enunciamos y demostramos la regla o criterio de la primera derivada y proporcionamos algunos ejemplos. El criterio proporciona la monoton\u00eda de la funci\u00f3n y deducir la existencia de extremos relativos (m\u00e1ximos y m\u00ednimos). Matem\u00e1ticas. An\u00e1lisis y c\u00e1lculo diferencial.\" width=\"143\" height=\"23\" \/><\/a><\/p>\n<p>Calculamos su derivada:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/DCMonotonia.htm\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"calculamos la derivada: f'(x) = 9x^2 - 1\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/primera-derivada\/E1-1.png\" alt=\"Enunciamos y demostramos la regla o criterio de la primera derivada y proporcionamos algunos ejemplos. El criterio proporciona la monoton\u00eda de la funci\u00f3n y deducir la existencia de extremos relativos (m\u00e1ximos y m\u00ednimos). Matem\u00e1ticas. An\u00e1lisis y c\u00e1lculo diferencial.\" width=\"149\" height=\"23\" \/><\/a><\/p>\n<p>Calculamos los puntos cr\u00edticos:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/DCMonotonia.htm\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"resolvemos la ecuaci\u00f3n f'(x)=0, obteniendo x=1\/3 y x=-1\/3\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/primera-derivada\/E1-2.png\" alt=\"Enunciamos y demostramos la regla o criterio de la primera derivada y proporcionamos algunos ejemplos. El criterio proporciona la monoton\u00eda de la funci\u00f3n y deducir la existencia de extremos relativos (m\u00e1ximos y m\u00ednimos). Matem\u00e1ticas. An\u00e1lisis y c\u00e1lculo diferencial.\" width=\"131\" height=\"100\" \/><\/a><\/p>\n<p>Hay dos puntos cr\u00edticos: <em>x=1\/3<\/em> y <em>x=-1\/3<\/em>.<\/p>\n<p>Obviamente, el signo de la derivada se mantiene constante en los intervalos (-\u221e, -1\/3), (-1\/3, 1\/3) y\u00a0 (1\/3, +\u221e), as\u00ed que podemos evaluar la derivada en cualquier punto de cada intervalo para determinar su signo:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/DCMonotonia.htm\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" style=\"max-width: 100%\" title=\"f'(-1)=8&gt;0, f'(0)=-1&lt;0, f'(1)=8&gt;0\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/primera-derivada\/E1-3.png\" alt=\"Enunciamos y demostramos la regla o criterio de la primera derivada y proporcionamos algunos ejemplos. El criterio proporciona la monoton\u00eda de la funci\u00f3n y deducir la existencia de extremos relativos (m\u00e1ximos y m\u00ednimos). Matem\u00e1ticas. An\u00e1lisis y c\u00e1lculo diferencial.\" width=\"154\" height=\"80\" \/><\/a><\/p>\n<p>Por tanto,<\/p>\n<ul>\n<li>La funci\u00f3n f es creciente en (-\u221e, -1\/3).<\/li>\n<li>La funci\u00f3n f es decreciente en (-1\/3, 1\/3).<\/li>\n<li>La funci\u00f3n f es creciente en (1\/3, +\u221e).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Por tanto, deducimos que <em>x=-1\/3<\/em> es un m\u00e1ximo y <em>x=1\/3<\/em> es un m\u00ednimo.<\/p>\n<p>Teniendo en cuenta que los l\u00edmites de f cuando <em>x\u2192\u00b1\u221e<\/em> son\u00a0infinitos, los extremos no son absolutos.<\/p>\n<p>Gr\u00e1fica:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/DCMonotonia.htm\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"gr\u00e1fica y extremos relativos de la funci\u00f3n f(x) = 3x^3 - x\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/primera-derivada\/E1g.png\" alt=\"Enunciamos y demostramos la regla o criterio de la primera derivada y proporcionamos algunos ejemplos. El criterio proporciona la monoton\u00eda de la funci\u00f3n y deducir la existencia de extremos relativos (m\u00e1ximos y m\u00ednimos). Matem\u00e1ticas. An\u00e1lisis y c\u00e1lculo diferencial.\" width=\"198\" height=\"292\" \/><\/a><\/p>\n<p><strong>Enlaces con problemas de funciones:<\/strong><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<ul>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/dominio-recorrido\/dominio-recorrido-imagen-rango-funcion-ejemplos-problemas.html\">Dominio y recorrido<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/dominio\/ejercicios-resueltos-dominio-recorrido-imagen-funciones.html\">Dominio y recorrido<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/lineales\/funcion-lineal-problemas-resueltos-grafica-pendiente-interseccion-ejes-paralelas.html\">Funciones lineales<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/parabolica\/funcion-cuadratica-parabolica-vertice-puntos-corte-canonica-factorizada-problemas-resueltos.html\">Funciones cuadr\u00e1ticas<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/rectasparabolas\/problemas-resueltos-rectas-parabolas.html\">Rectas y par\u00e1bolas<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/polinomica\/problemas-resueltos-funcion-constante-lineal-cuadratica-cubica-cortes.html\">Funciones polin\u00f3micas<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/trozos\/funcion-definida-trozos-partes-segmentada-continuidad-limites-laterales-problemas-resueltos.html\">Funciones definidas a trozos<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/funciones\/trozos\/funciones-definidas-partes-trozos-intervalo-grafica-ejemplos-problemas-resueltos.html\">Funciones definidas a trozos<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/problemas\/problemas-resueltos-funciones-ejemplos-calcular-precio-lineal-parabolica-trozos.html\">Problemas de funciones<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/funciones\/problemas-resueltos-funciones-concepto-dominio-codominio-imagen-grafica.html\">Problemas de funciones<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/continua\/funciones-continuas-ejemplos-problemas-resueltos-grafica-partes.html\">Funciones continuas<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/resueltos-continuidad.htm\">Funciones continuas<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/inversa\/funcion-inyectiva-suprayectiva-sobreyectiva-inversa-ejemplos-problemas-resueltos-calcular.html\">Funci\u00f3n inversa<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/funciones\/inversa\/funcion-inversa-definicion-biyectiva-calcular-problemas-resueltos-demostrar-dominio.html\">Funci\u00f3n inversa<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/biyectiva\/tipos-funcion-aplicacion-inyectiva-sobreyectiva-biyectiva-inversa.html\">Funci\u00f3n inyectiva, sobreyectiva y biyectiva<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/asintotas\/asintota-horizontal-vertical-oblicua-ejemplos-problemas-resueltos-funciones-limites.html\">As\u00edntotas<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/funciones\/asintota\/asintota-horizontal-vertical-ejemplos-limites-graficas-funciones-problemas-resueltos-demostraciones.html\">As\u00edntotas<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/maximo-minimo-punto-critico-problemas-resueltos-ejemplos-regla-derivada.html\">M\u00e1ximos y m\u00ednimos<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/resueltos-extremos.htm\">M\u00e1ximos y m\u00ednimos<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/DCMonotonia.htm\">Criterio de la primera derivada<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/demostracion-criterio-extremo.htm\">Criterio de la segunda derivada<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/optimizar\/problemas-resueltos-optimizar-maximizar-minimizar-funciones-extremos-derivada.html\">Problemas de optimizar<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/optimizar\/problemas-resueltos-optimizar-extremos-maximo-minimo-derivada-creciente-decreciente-monotonia.html\">Problemas de optimizar<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/limites\/calculo-limites-explicados-metodos-reglas-procedimientos-indeterminaciones-grados-infinito-resueltos.html\">L\u00edmites<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/limites\/\">L\u00edmites<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/par\/funcion-par-impar-ejemplos-problemas-resueltos-grafica-simetria.html\">Funci\u00f3n par y funci\u00f3n impar<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ERCDerivadas.htm\">C\u00e1lculo de derivadas<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/emparedado\/teorema-emparedado-sandwich-demostracion-limites-series-convergente-ejemplos.html\">Teorema del emparedado<\/a><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Sea f una funci\u00f3n continua en el intervalo [a, b] y derivable en ]a, b[. Entonces, La funci\u00f3n f es mon\u00f3tona\u00a0creciente en el intervalo ]a, b[ si, y s\u00f3lo si, f'(x)\u22650 para todo x\u2208]a, b[. La funci\u00f3n f es mon\u00f3tona decreciente en el intervalo ]a, b[ si, y s\u00f3lo si, f'(x)\u22640 para todo x\u2208]a, b[. &hellip; <\/p>\n<p class=\"link-more\"><a href=\"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/funciones\/criterio-de-la-primera-derivada\/\" class=\"more-link\">Continue reading<span class=\"screen-reader-text\"> &#8220;Criterio de la primera derivada&#8221;<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":4324,"featured_media":0,"parent":907,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-976","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/976","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4324"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=976"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/976\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":983,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/976\/revisions\/983"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/907"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=976"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}