{"id":981,"date":"2019-12-09T11:05:13","date_gmt":"2019-12-09T10:05:13","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/?page_id=981"},"modified":"2019-12-09T11:06:16","modified_gmt":"2019-12-09T10:06:16","slug":"criterio-de-la-segunda-derivada","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/funciones\/criterio-de-la-segunda-derivada\/","title":{"rendered":"Criterio de la segunda derivada"},"content":{"rendered":"<p>Sea <em>f<\/em> una funci\u00f3n dos veces derivable en el intervalo <em>]a, b[<\/em> y sea <em>z\u2208]a, b[<\/em> tal que <em>f'(z)=0<\/em>.\u00a0Entonces,<\/p>\n<ul>\n<li>Si <em>f&#8221;(z)&lt;0<\/em>, entonces <em>f<\/em> tiene un\u00a0<strong>m\u00e1ximo relativo<\/strong> en <em>z<\/em>.<\/li>\n<li>Si <em>f&#8221;(z)&gt;0<\/em>, entonces <em>f<\/em> tiene un\u00a0<strong>m\u00ednimo relativo<\/strong> en <em>z<\/em>.<\/li>\n<\/ul>\n<h1><strong>Aplicaci\u00f3n<\/strong><\/h1>\n<p style=\"text-align: justify\">La aplicaci\u00f3n directa del criterio de la segunda derivada es determinar si los\u00a0<strong>puntos cr\u00edticos<\/strong>\u00a0de una funci\u00f3n (puntos que anulan la primera derivada) son m\u00e1ximos o m\u00ednimos.<\/p>\n<p>Si hay extremos, podemos deducir la monoton\u00eda de la funci\u00f3n alrededor de \u00e9stos.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify\">Adem\u00e1s de esto, los puntos que anulan la segunda derivada son candidatos a ser\u00a0<strong>puntos de inflexi\u00f3n<\/strong>\u00a0(puntos donde la curvatura de la funci\u00f3n cambia de tipo (concavidad y convexidad)).<\/p>\n<p><strong>Ejemplo<\/strong><\/p>\n<p>Determinar si los extremos de la siguiente funci\u00f3n son m\u00e1ximos o m\u00ednimos:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/demostracion-criterio-extremo.htm\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"f(x) = x^3\/3 - x^2 + 1\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/segunda-derivada\/E1-1.png\" alt=\"Enunciamos y demostramos el criterio de la segunda derivada y proporcionamos un par de ejemplos de su aplicaci\u00f3n. Extremos relativos (m\u00e1ximos y m\u00ednimos). C\u00e1lculo diferencial. Matem\u00e1ticas.\" width=\"177\" height=\"49\" \/><\/a><\/p>\n<p>Calculamos la primera derivada:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/demostracion-criterio-extremo.htm\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"f'(x) = x^2 -2x\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/segunda-derivada\/E1-2.png\" alt=\"Enunciamos y demostramos el criterio de la segunda derivada y proporcionamos un par de ejemplos de su aplicaci\u00f3n. Extremos relativos (m\u00e1ximos y m\u00ednimos). C\u00e1lculo diferencial. Matem\u00e1ticas.\" width=\"148\" height=\"23\" \/><\/a><\/p>\n<p>Calculamos los puntos cr\u00edticos:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/demostracion-criterio-extremo.htm\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"resolvemos la ecuaci\u00f3n x^2-2x=0, cuyas soluciones son x=0 y x=2\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/segunda-derivada\/E1-3.png\" alt=\"Enunciamos y demostramos el criterio de la segunda derivada y proporcionamos un par de ejemplos de su aplicaci\u00f3n. Extremos relativos (m\u00e1ximos y m\u00ednimos). C\u00e1lculo diferencial. Matem\u00e1ticas.\" width=\"122\" height=\"101\" \/><\/a><\/p>\n<p>Calculamos la segunda derivada:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/demostracion-criterio-extremo.htm\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"segunda derivada: f''(x) = 2x - 2\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/segunda-derivada\/E1-4.png\" alt=\"Enunciamos y demostramos el criterio de la segunda derivada y proporcionamos un par de ejemplos de su aplicaci\u00f3n. Extremos relativos (m\u00e1ximos y m\u00ednimos). C\u00e1lculo diferencial. Matem\u00e1ticas.\" width=\"141\" height=\"22\" \/><\/a><\/p>\n<p>Evaluamos la segunda derivada en los puntos cr\u00edticos:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/demostracion-criterio-extremo.htm\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" style=\"max-width: 100%\" title=\"f''(0)=-2&lt;0, f''(2)=2&gt;0\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/segunda-derivada\/E1-5.png\" alt=\"Enunciamos y demostramos el criterio de la segunda derivada y proporcionamos un par de ejemplos de su aplicaci\u00f3n. Extremos relativos (m\u00e1ximos y m\u00ednimos). C\u00e1lculo diferencial. Matem\u00e1ticas.\" width=\"134\" height=\"49\" \/><\/a><\/p>\n<p>Por tanto, <em>f<\/em> tiene un m\u00e1ximo local en <em>x=0<\/em> y un m\u00ednimo local en <em>x=2<\/em>.<\/p>\n<p>Gr\u00e1fica:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/demostracion-criterio-extremo.htm\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"gr\u00e1fica y extremos relativos de la funci\u00f3n f(x) = x^3\/3 - x^2 + 1\" src=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/segunda-derivada\/E1g.png\" alt=\"Enunciamos y demostramos el criterio de la segunda derivada y proporcionamos un par de ejemplos de su aplicaci\u00f3n. Extremos relativos (m\u00e1ximos y m\u00ednimos). C\u00e1lculo diferencial. Matem\u00e1ticas.\" width=\"174\" height=\"228\" \/><\/a><\/p>\n<p><strong>Enlaces con problemas de funciones:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li style=\"list-style-type: none\">\n<ul>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/dominio-recorrido\/dominio-recorrido-imagen-rango-funcion-ejemplos-problemas.html\">Dominio y recorrido<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/dominio\/ejercicios-resueltos-dominio-recorrido-imagen-funciones.html\">Dominio y recorrido<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/lineales\/funcion-lineal-problemas-resueltos-grafica-pendiente-interseccion-ejes-paralelas.html\">Funciones lineales<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/parabolica\/funcion-cuadratica-parabolica-vertice-puntos-corte-canonica-factorizada-problemas-resueltos.html\">Funciones cuadr\u00e1ticas<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/rectasparabolas\/problemas-resueltos-rectas-parabolas.html\">Rectas y par\u00e1bolas<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/polinomica\/problemas-resueltos-funcion-constante-lineal-cuadratica-cubica-cortes.html\">Funciones polin\u00f3micas<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/trozos\/funcion-definida-trozos-partes-segmentada-continuidad-limites-laterales-problemas-resueltos.html\">Funciones definidas a trozos<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/funciones\/trozos\/funciones-definidas-partes-trozos-intervalo-grafica-ejemplos-problemas-resueltos.html\">Funciones definidas a trozos<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/problemas\/problemas-resueltos-funciones-ejemplos-calcular-precio-lineal-parabolica-trozos.html\">Problemas de funciones<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/funciones\/problemas-resueltos-funciones-concepto-dominio-codominio-imagen-grafica.html\">Problemas de funciones<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/continua\/funciones-continuas-ejemplos-problemas-resueltos-grafica-partes.html\">Funciones continuas<\/a> (1)<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/resueltos-continuidad.htm\">Funciones continuas<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/inversa\/funcion-inyectiva-suprayectiva-sobreyectiva-inversa-ejemplos-problemas-resueltos-calcular.html\">Funci\u00f3n inversa<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/funciones\/inversa\/funcion-inversa-definicion-biyectiva-calcular-problemas-resueltos-demostrar-dominio.html\">Funci\u00f3n inversa<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/biyectiva\/tipos-funcion-aplicacion-inyectiva-sobreyectiva-biyectiva-inversa.html\">Funci\u00f3n inyectiva, sobreyectiva y biyectiva<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/asintotas\/asintota-horizontal-vertical-oblicua-ejemplos-problemas-resueltos-funciones-limites.html\">As\u00edntotas<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/funciones\/asintota\/asintota-horizontal-vertical-ejemplos-limites-graficas-funciones-problemas-resueltos-demostraciones.html\">As\u00edntotas<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/maximo-minimo-punto-critico-problemas-resueltos-ejemplos-regla-derivada.html\">M\u00e1ximos y m\u00ednimos<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/resueltos-extremos.htm\">M\u00e1ximos y m\u00ednimos<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/DCMonotonia.htm\">Criterio de la primera derivada<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/demostracion-criterio-extremo.htm\">Criterio de la segunda derivada<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/optimizar\/problemas-resueltos-optimizar-maximizar-minimizar-funciones-extremos-derivada.html\">Problemas de optimizar<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/optimizar\/problemas-resueltos-optimizar-extremos-maximo-minimo-derivada-creciente-decreciente-monotonia.html\">Problemas de optimizar<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/limites\/calculo-limites-explicados-metodos-reglas-procedimientos-indeterminaciones-grados-infinito-resueltos.html\">L\u00edmites<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/limites\/\">L\u00edmites<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/par\/funcion-par-impar-ejemplos-problemas-resueltos-grafica-simetria.html\">Funci\u00f3n par y funci\u00f3n impar<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ERCDerivadas.htm\">C\u00e1lculo de derivadas<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/emparedado\/teorema-emparedado-sandwich-demostracion-limites-series-convergente-ejemplos.html\">Teorema del emparedado<\/a><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Sea f una funci\u00f3n dos veces derivable en el intervalo ]a, b[ y sea z\u2208]a, b[ tal que f'(z)=0.\u00a0Entonces, Si f&#8221;(z)&lt;0, entonces f tiene un\u00a0m\u00e1ximo relativo en z. Si f&#8221;(z)&gt;0, entonces f tiene un\u00a0m\u00ednimo relativo en z. Aplicaci\u00f3n La aplicaci\u00f3n directa del criterio de la segunda derivada es determinar si los\u00a0puntos cr\u00edticos\u00a0de una funci\u00f3n (puntos &hellip; <\/p>\n<p class=\"link-more\"><a href=\"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/funciones\/criterio-de-la-segunda-derivada\/\" class=\"more-link\">Continue reading<span class=\"screen-reader-text\"> &#8220;Criterio de la segunda derivada&#8221;<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":4324,"featured_media":0,"parent":907,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-981","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/981","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4324"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=981"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/981\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":988,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/981\/revisions\/988"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/907"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=981"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}