{"id":997,"date":"2019-12-10T08:42:46","date_gmt":"2019-12-10T07:42:46","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/?page_id=997"},"modified":"2019-12-10T08:42:46","modified_gmt":"2019-12-10T07:42:46","slug":"reglas-de-derivacion-y-de-la-cadena","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/funciones\/reglas-de-derivacion-y-de-la-cadena\/","title":{"rendered":"Reglas de derivaci\u00f3n y de la cadena"},"content":{"rendered":"<h1>Reglas de derivaci\u00f3n<\/h1>\n<p>Dadas dos funciones\u00a0<em>f<\/em> y\u00a0<em>g,\u00a0<\/em>las derivadas de su suma, resta, producto y cociente son<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/reglas-derivacion-cadena-ejemplos-suma-resta-producto-cociente-derivadas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"reglas de derivaci\u00f3n (derivada de la suma, de la resta, del producto y del cociente de funciones)\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/T2.png\" alt=\"Enunciamos las reglas de derivaci\u00f3n y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicaci\u00f3n. Derivadas. C\u00e1lculo diferencial. Matem\u00e1ticas.\" width=\"205\" height=\"165\" \/><\/a><\/p>\n<p>Si\u00a0<em>K<\/em> es una constante y\u00a0<em>f<\/em> es una funci\u00f3n, la derivada de su producto es<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/reglas-derivacion-cadena-ejemplos-suma-resta-producto-cociente-derivadas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"derivada de una constante K por una funci\u00f3n f: (K\u00b7f)' = K\u00b7f'\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/T3.png\" alt=\"Enunciamos las reglas de derivaci\u00f3n y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicaci\u00f3n. Derivadas. C\u00e1lculo diferencial. Matem\u00e1ticas.\" width=\"144\" height=\"22\" \/><\/a><\/p>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong><\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/reglas-derivacion-cadena-ejemplos-suma-resta-producto-cociente-derivadas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"f(x) = x^2 + ln(x)\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/T4.png\" alt=\"Enunciamos las reglas de derivaci\u00f3n y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicaci\u00f3n. Derivadas. C\u00e1lculo diferencial. Matem\u00e1ticas.\" width=\"168\" height=\"24\" \/><\/a><\/p>\n<p>Aplicamos la regla de la suma:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/reglas-derivacion-cadena-ejemplos-suma-resta-producto-cociente-derivadas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"la derivada de f(x) = x^2 + ln(x) es f'(x) = 2x + 1\/x\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/T5.png\" alt=\"Enunciamos las reglas de derivaci\u00f3n y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicaci\u00f3n. Derivadas. C\u00e1lculo diferencial. Matem\u00e1ticas.\" width=\"142\" height=\"46\" \/><\/a><\/p>\n<h1 style=\"text-align: left\" align=\"center\">Regla de la cadena<\/h1>\n<p>La regla de la cadena proporciona la derivada de la composici\u00f3n de dos funciones\u00a0<em>f<\/em> y\u00a0<em>g:<\/em><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/reglas-derivacion-cadena-ejemplos-suma-resta-producto-cociente-derivadas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" title=\"regla de la cadena: (f(g))' = f'(g)\u00b7g'\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/T13.png\" alt=\"Enunciamos las reglas de derivaci\u00f3n y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicaci\u00f3n. Derivadas. C\u00e1lculo diferencial. Matem\u00e1ticas.\" width=\"183\" height=\"31\" \/><\/a><\/p>\n<p><strong>Ejemplo 1<\/strong><\/p>\n<p>Sea la funci\u00f3n<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/reglas-derivacion-cadena-ejemplos-suma-resta-producto-cociente-derivadas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"f(x) = (1+x)^2\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/T10.png\" alt=\"Enunciamos las reglas de derivaci\u00f3n y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicaci\u00f3n. Derivadas. C\u00e1lculo diferencial. Matem\u00e1ticas.\" width=\"140\" height=\"25\" \/><\/a><\/p>\n<p>Es composici\u00f3n de las siguientes funciones:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/reglas-derivacion-cadena-ejemplos-suma-resta-producto-cociente-derivadas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"p(x)=x^2, q(x)=1+x\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/T11.png\" alt=\"Enunciamos las reglas de derivaci\u00f3n y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicaci\u00f3n. Derivadas. C\u00e1lculo diferencial. Matem\u00e1ticas.\" width=\"123\" height=\"51\" \/><\/a><\/p>\n<p>ya que<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/reglas-derivacion-cadena-ejemplos-suma-resta-producto-cociente-derivadas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"f(x) = p(q(x))\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/T12.png\" alt=\"Enunciamos las reglas de derivaci\u00f3n y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicaci\u00f3n. Derivadas. C\u00e1lculo diferencial. Matem\u00e1ticas.\" width=\"145\" height=\"28\" \/><\/a><\/p>\n<p>O, equivalentemente, <em>f = p(q)<\/em>.<\/p>\n<p>Las derivadas son<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/reglas-derivacion-cadena-ejemplos-suma-resta-producto-cociente-derivadas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"p'(x)=2x, q'(x)=1\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/T12A.png\" alt=\"Enunciamos las reglas de derivaci\u00f3n y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicaci\u00f3n. Derivadas. C\u00e1lculo diferencial. Matem\u00e1ticas.\" width=\"104\" height=\"49\" \/><\/a><\/p>\n<p>Por tanto, por la regla de la cadena,<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/reglas-derivacion-cadena-ejemplos-suma-resta-producto-cociente-derivadas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"la derivada de f(x) = (1+x)^2 es f'(x) = 2\u00b7(1+x)\u00b71\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/T12B.png\" alt=\"Enunciamos las reglas de derivaci\u00f3n y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicaci\u00f3n. Derivadas. C\u00e1lculo diferencial. Matem\u00e1ticas.\" width=\"187\" height=\"23\" \/><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: left\" align=\"center\"><strong>Ejemplo 2<\/strong><\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/reglas-derivacion-cadena-ejemplos-suma-resta-producto-cociente-derivadas.html\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"f(x) = (1+2x)\/((3x-1)^2)\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/T17.png\" alt=\"Enunciamos las reglas de derivaci\u00f3n y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicaci\u00f3n. Derivadas. C\u00e1lculo diferencial. Matem\u00e1ticas.\" width=\"159\" height=\"50\" \/><\/a><\/p>\n<p>Tenemos que aplicar la regla del cociente y de la cadena (para el cuadrado):<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ERCDerivadas.htm\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"calculamos la derivada de f(x) = (1+2x)\/((3x-1)^2)\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/T18.png\" alt=\"Enunciamos las reglas de derivaci\u00f3n y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicaci\u00f3n. Derivadas. C\u00e1lculo diferencial. Matem\u00e1ticas.\" width=\"357\" height=\"55\" \/><\/a><\/p>\n<p>Simplificamos:<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ERCDerivadas.htm\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"la derivada de f(x) = (1+2x)\/((3x-1)^2) es f'(x) = -2(3x+4)\/((3x-1)^3)\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/T19.png\" alt=\"Enunciamos las reglas de derivaci\u00f3n y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicaci\u00f3n. Derivadas. C\u00e1lculo diferencial. Matem\u00e1ticas.\" width=\"258\" height=\"108\" \/><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: left\" align=\"center\"><strong>Ejemplo 3<\/strong><\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ERCDerivadas.htm\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"f(x) = ra\u00edz(1+x^3)\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/T20.png\" alt=\"Enunciamos las reglas de derivaci\u00f3n y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicaci\u00f3n. Derivadas. C\u00e1lculo diferencial. Matem\u00e1ticas.\" width=\"149\" height=\"29\" \/><\/a><\/p>\n<p>Si es necesario, se puede escribir la ra\u00edz como una potencia con exponente 1\/2.<\/p>\n<p>Aplicando la regla de la cadena,<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ERCDerivadas.htm\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"la derivada de f(x) = ra\u00edz(1+x^3) es f'(x) = 3x^2\/(2\u00b7ra\u00edz(1+x^3))\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/T21.png\" alt=\"Enunciamos las reglas de derivaci\u00f3n y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicaci\u00f3n. Derivadas. C\u00e1lculo diferencial. Matem\u00e1ticas.\" width=\"202\" height=\"52\" \/><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: left\" align=\"center\"><strong>Ejemplo 4<\/strong><\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ERCDerivadas.htm\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"f(x) = ln(1 + ra\u00edz(1 + 3x))\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/T22.png\" alt=\"Enunciamos las reglas de derivaci\u00f3n y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicaci\u00f3n. Derivadas. C\u00e1lculo diferencial. Matem\u00e1ticas.\" width=\"208\" height=\"29\" \/><\/a><\/p>\n<p>Aplicando la regla de la cadena,<\/p>\n<p align=\"center\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ERCDerivadas.htm\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone\" title=\"la derivada de la funci\u00f3n f(x) = ln(1 + ra\u00edz(1 + 3x)) es f'(x) = 3\/(2 + 6x + 2\u00b7ra\u00edz(1 + 3x))\" src=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/derivadas\/T23.png\" alt=\"Enunciamos las reglas de derivaci\u00f3n y de la cadena y proporcionamos algunos ejemplos de su aplicaci\u00f3n. Derivadas. C\u00e1lculo diferencial. Matem\u00e1ticas.\" width=\"268\" height=\"111\" \/><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: left\" align=\"center\"><strong>Enlaces con problemas de funciones:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/dominio-recorrido\/dominio-recorrido-imagen-rango-funcion-ejemplos-problemas.html\">Dominio y recorrido<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/dominio\/ejercicios-resueltos-dominio-recorrido-imagen-funciones.html\">Dominio y recorrido<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/lineales\/funcion-lineal-problemas-resueltos-grafica-pendiente-interseccion-ejes-paralelas.html\">Funciones lineales<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/parabolica\/funcion-cuadratica-parabolica-vertice-puntos-corte-canonica-factorizada-problemas-resueltos.html\">Funciones cuadr\u00e1ticas<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/rectasparabolas\/problemas-resueltos-rectas-parabolas.html\">Rectas y par\u00e1bolas<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/polinomica\/problemas-resueltos-funcion-constante-lineal-cuadratica-cubica-cortes.html\">Funciones polin\u00f3micas<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/trozos\/funcion-definida-trozos-partes-segmentada-continuidad-limites-laterales-problemas-resueltos.html\">Funciones definidas a trozos<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/funciones\/trozos\/funciones-definidas-partes-trozos-intervalo-grafica-ejemplos-problemas-resueltos.html\">Funciones definidas a trozos<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/problemas\/problemas-resueltos-funciones-ejemplos-calcular-precio-lineal-parabolica-trozos.html\">Problemas de funciones<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ESO\/funciones\/problemas-resueltos-funciones-concepto-dominio-codominio-imagen-grafica.html\">Problemas de funciones<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/continua\/funciones-continuas-ejemplos-problemas-resueltos-grafica-partes.html\">Funciones continuas<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/resueltos-continuidad.htm\">Funciones continuas<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/inversa\/funcion-inyectiva-suprayectiva-sobreyectiva-inversa-ejemplos-problemas-resueltos-calcular.html\">Funci\u00f3n inversa<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/funciones\/inversa\/funcion-inversa-definicion-biyectiva-calcular-problemas-resueltos-demostrar-dominio.html\">Funci\u00f3n inversa<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/biyectiva\/tipos-funcion-aplicacion-inyectiva-sobreyectiva-biyectiva-inversa.html\">Funci\u00f3n inyectiva, sobreyectiva y biyectiva<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/asintotas\/asintota-horizontal-vertical-oblicua-ejemplos-problemas-resueltos-funciones-limites.html\">As\u00edntotas<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/funciones\/asintota\/asintota-horizontal-vertical-ejemplos-limites-graficas-funciones-problemas-resueltos-demostraciones.html\">As\u00edntotas<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/extremos\/maximo-minimo-punto-critico-problemas-resueltos-ejemplos-regla-derivada.html\">M\u00e1ximos y m\u00ednimos<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/resueltos-extremos.htm\">M\u00e1ximos y m\u00ednimos<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/DCMonotonia.htm\">Criterio de la primera derivada<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/demostracion-criterio-extremo.htm\">Criterio de la segunda derivada<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/optimizar\/problemas-resueltos-optimizar-maximizar-minimizar-funciones-extremos-derivada.html\">Problemas de optimizar<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/optimizar\/problemas-resueltos-optimizar-extremos-maximo-minimo-derivada-creciente-decreciente-monotonia.html\">Problemas de optimizar<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/limites\/calculo-limites-explicados-metodos-reglas-procedimientos-indeterminaciones-grados-infinito-resueltos.html\">L\u00edmites<\/a> (1)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/limites\/\">L\u00edmites<\/a> (2)<\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.problemasyecuaciones.com\/funciones\/par\/funcion-par-impar-ejemplos-problemas-resueltos-grafica-simetria.html\">Funci\u00f3n par y funci\u00f3n impar<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/ERCDerivadas.htm\">C\u00e1lculo de derivadas<\/a><\/li>\n<li style=\"text-align: left\"><a href=\"https:\/\/www.matesfacil.com\/BAC\/emparedado\/teorema-emparedado-sandwich-demostracion-limites-series-convergente-ejemplos.html\">Teorema del emparedado<\/a><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Reglas de derivaci\u00f3n Dadas dos funciones\u00a0f y\u00a0g,\u00a0las derivadas de su suma, resta, producto y cociente son Si\u00a0K es una constante y\u00a0f es una funci\u00f3n, la derivada de su producto es Ejemplo: Aplicamos la regla de la suma: Regla de la cadena La regla de la cadena proporciona la derivada de la composici\u00f3n de dos funciones\u00a0f &hellip; <\/p>\n<p class=\"link-more\"><a href=\"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/funciones\/reglas-de-derivacion-y-de-la-cadena\/\" class=\"more-link\">Continue reading<span class=\"screen-reader-text\"> &#8220;Reglas de derivaci\u00f3n y de la 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