{"id":1165,"date":"2020-05-21T10:56:23","date_gmt":"2020-05-21T09:56:23","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/?p=1165"},"modified":"2021-09-11T17:16:27","modified_gmt":"2021-09-11T16:16:27","slug":"teorema-del-sandwich-o-del-emparedado","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/matesfacil\/2020\/05\/21\/teorema-del-sandwich-o-del-emparedado\/","title":{"rendered":"Teorema del s\u00e1ndwich o del emparedado"},"content":{"rendered":"

El teorema del s\u00e1ndwich<\/strong> establece que si una funci\u00f3n f(x) se encuentra entre dos funciones g(x) y h(x), es decir,<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Y los l\u00edmites de g(x) y de h(x) existen y son iguales, entonces el l\u00edmite de f(x) tambi\u00e9n existe y coincide con el de g(x) y el de h(x).<\/p>\n

 <\/p>\n

Veamos un par de ejemplos de la importancia del teorema del s\u00e1ndwich en la pr\u00e1ctica demostrando l\u00edmites.<\/p>\n

Ejemplo 1<\/strong><\/p>\n

\"el<\/a><\/p>\n

En principio, este l\u00edmite no es sencillo de calcular, puesto que la funci\u00f3n seno es una funci\u00f3n peri\u00f3dica que toma valores en el intervalo [-1, 1], por lo que el l\u00edmite cuando x<\/i> tiende a infinito es indeterminado.<\/p>\n

As\u00ed, pues, vamos a acotar la funci\u00f3n sin(x)\/x entre dos funciones con l\u00edmite.<\/p>\n

Como el seno toma valores entre -1 y 1, podemos escribir<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Dividimos entre x<\/em>:<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Ya tenemos la funci\u00f3n acotada entre dos funciones (siempre que x sea mayor que 0) y estas funciones tienen l\u00edmite cuando x tiende a infinito y es 0.<\/p>\n

Por tanto, la funci\u00f3n sin(x)\/x tambi\u00e9n tiene l\u00edmite y es 0:<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Ejemplo 2\u00a0<\/strong><\/p>\n

<\/a><\/p>\n

El coseno es una funci\u00f3n peri\u00f3dica con valores en el intervalo [-1, 1], aunque existe su l\u00edmite cuando x<\/i> tiende a 0 y es cos(0) = 1. Sin embargo, en la funci\u00f3n del l\u00edmite el argumento del coseno es 1\/x, el cual tiende a infinito cuando x<\/i> tiende a 0. Adem\u00e1s, el coseno del l\u00edmite est\u00e1 adem\u00e1s multiplicado por x<\/i>.<\/p>\n

A pesar de todo esto, el l\u00edmite es sencillo de calcular mediante el teorema del s\u00e1ndwich. Acotamos el coseno:<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Supongamos que x>0<\/em>, entonces<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Por el teorema del emparedado,<\/p>\n

\"Enunciamos<\/a><\/p>\n

Ahora, hacemos lo mismo suponiendo que x<0<\/em>:<\/p>\n

\"Enunciamos<\/a><\/p>\n

Por el teorema del emparedado,<\/p>\n

\"Enunciamos<\/a><\/p>\n

Como los l\u00edmites laterales coinciden,<\/p>\n

\"Enunciamos<\/a><\/p>\n

Gr\u00e1fica de la funci\u00f3n:<\/p>\n

\"Enunciamos<\/a><\/p>\n

M\u00e1s ejemplos en Teorema del emparedado o del s\u00e1ndwich<\/a>.<\/p>\n

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