os facilito un trozo de mi último trabajo

Primera situación cooperativa: gobierno y empresas

 A continuación vamos a describir la situación de las empresas y el gobierno y sus posibles estrategias por separado: 

Gobierno

  De las posibles acciones que puede llevar a cabo el gobierno vamos a definir:- x₁: en este caso el gobierno hace una pequeña inversión en desalación térmica en el periodo 1 y en el periodo 2.- x₂: el gobierno hace una gran inversión en desalación térmica en el primer periodo y en el segundo periodo hace una inversión grande o pequeña.- x₃: el gobierno hace una pequeña inversión en desalación por membranas en el periodo 1 y en el periodo 2. – x₄: si el gobierno escoge esta opción, estará optando por una gran desalación en membranas y una inversión grande o pequeña en el segundo.  

Podemos observar que entre las posibles opciones por las que puede optar el gobierno  existen estrategias excluidas. Por ejemplo el caso en el que la inversión es pequeña en los dos periodos se ha excluido, el motivo es que en este caso, no sería demasiado interesante analizar los efectos contaminantes de la desalación en este país ya que la desalación representa un fenómeno de un escaso efecto contaminante en este país, pues es poco practicada. Otras estrategias excluidas son aquellas en las que la inversión que lleva a cabo el gobierno independientemente de que sea grande o pequeña, va destinada a una tecnología en el primer periodo, bien sea membranas o térmica; y en el segundo periodo se invierte en la otra tecnología. Esta última opción la hemos dejado de lado debido a que no es frecuente para un periodo temporal de dos años. Si bien es cierto que  la tendencia mundial ha sido pasar de la desalación térmica a la desalación por membranas, esto no se lleva a cabo en dos años, y aquellos países que siguen invirtiendo en procesos térmicos es probable que lo hagan de modo análogo para el año siguiente. Finalmente no se ha diferenciado entre el caso en que en el segundo periodo la inversión es grande o pequeña, dado que en el primer periodo fue grande. Esto es debido a que para simplificar, si el gobierno hizo una gran inversión en periodo 1, podemos suponer que no es necesario que su inversión sea grande en el segundo periodo para que el impacto contaminante sea pequeño.  

 Empresas de desalación. 

Por su parte las empresas tienen que decidir si realizan una gran o pequeña inversión en investigación para disminuir el impacto ambiental. Por tanto sus posibles acciones son:

–         y₁: realizar una pequeña inversión en investigación para reducir el impacto ambiental.

–         y₂: realizar una gran inversión para investigar los modos de reducir el impacto de la desalación

 Representación del juego bipersonal con las empresas y el gobierno.    Podemos representar los pagos en una matriz, en la cual el término a₁₁ representa el pago que obtienen los jugadores cuando el gobierno escoge x₁ y la empresa de desalación y₁. Análogamente podemos definir cualquier término de la matriz como el pago que obtienen los jugadores cuando juegan la estrategia tal que:a_ij = pago de ( x_i , x_j ) La matriz de pagos es la siguiente:

       0    5   0   5

      5   10   5   10

                     Analicemos el por que de los pagos, para simplificar no vamos a describir la acción que lleva a cabo el gobierno o las empresas de desalación, sino que las vamos a : –                     Tenemos un pago de 0 para los estrategias (x₁, y₁) y (x₃, y₁). Este pago nos indica que la desalación tiene un impacto ambiental alto por metro cúbico, esto se debe a que en estos casos la inversión tanto llevada a cabo por el gobierno como por las empresas es pequeña. Ciertamente en este caso la desalación no va a causar una cantidad absoluta de contaminación relevante, ya que va a ser escaso el volumen de m³ producidos fruto de la escasa inversión. Sin embargo la contaminación relativa de cada uno de estos metros cúbicos va a ser elevada, debido a la escasa eficiencia técnico económica que tendrá la planta.            Tenemos un pago de 5 para las siguientes estrategias (x₂, y₁), (x₄, y₁), (x₁, y₂), (x₃, y₂) . Este pago nos indica que la desalación tiene un impacto ambiental medio por metro cúbico, el hecho de no haber conseguido que el impacto ambiental sea bajo en lugar de intermedio se debe a que el compromiso no ha sido mutuo. Es decir o bien las empresas han llevado a cabo una gran inversión en investigación para reducir el impacto ambiental de la desalación, siendo menor el esfuerzo económico gubernamental o viceversa.–                     Tenemos un pago de 10 para las estrategias (x₂, y₂), (x₃,y₂). Este pago nos indica que el coste ambiental por metro cúbico de agua desalada ha sido el mínimo alcanzable tecnológicamente. Para alcanzar esta situación ha sido necesario un compromiso inversor tanto por parte del gobierno como por parte de las empresas de desalación.  A continuación vamos a hallar la estrategia óptima para el gobierno, para ello vamos a utilizar el siguiente problema de maximización, para el cual sabemos que v_g es el pago del gobierno y x_i, para i = 1, 2, 3, 4 las estrategias del gobierno definidas anteriormente. El problema sería: Max v_gs.a:v_g £ 5x₂ + 5 x₄v_g £ 5x₁ + 10x₂ + 5x₃ + 10x₄x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 10 £ x_i , i= 1,2,3,4 

Podemos observar que tenemos 3 ecuaciones y 4 incógnitas, por lo cual la solución no va a ser única ya que tenemos un sistema compatible indeterminado.

 De la primera ecuación podemos sacar que:v_g – 5x₂ = 5 x₄ y por tanto: x₄ = ( v_g – 5x₂ ) / 5

esta condición que hemos obtenido la sustituimos en la segunda ecuación del problema de maximización y obtenemos:

v_g = 5x₁ + 10x₂ + 5x₃ + 2 ( v_g – 5x₂ )

operando llegamos a:

v_g = 5x₁ + 5x₃ + 2v_g

así que:

-v_g = 5x₁ + 5x₃Y vamos a dejar la condición anterior en función de x₁ 😡₁ = ( -v_g  – 5x₃ ) / 5

Por último debemos sustituir la condición que hemos obtenido para x₁ y para x₄ en la última ecuación del problema de maximización :

v_g =  ( -v_g  – 5x₃ ) + 10x₂ + 5x₃ + 2( v_g – 5x₂ )0 = – 5x₃  + 10x₂ + 5x₃ – 10x₂

Como vemos esta última ecuación no nos da información adicional acerca de los valores de las variables, de modo que para resolver debemos dar valores a dos de las variables y llegaremos a una de las múltiples soluciones de equilibrio siempre y cuando se satisfagan además de las restricciones del problema de optimización, las siguientes dos condiciones:

x₁ = ( -v_g  – 5x₃ ) / 5x₄ = ( v_g – 5x₂ ) / 5

vamos a dar los siguientes valores:

x₃ = a –>

x₂ = b–>

Por tanto la solución paramétrica sería: ( x₁*,  x₂* , x₃* , x₄* ) = (( -v_g  – 5a ) / 5, b , a , ( v_g – 5b ) / 5 )  

          Análogamente se procedería a resolver la estrategia óptima de las empresas