En este lenguaje, las fórmulas representan proposiciones, y están relacionadas entre ellas por conectivas lógicas.
- Mañana es miércoles o mañana es jueves : p o q (p v q)
- Mañana no es jueves: no p (¬p)
- Por lo tanto, mañana es miércoles: q
El alfabeto, son los símbolos con los que trabaja el lenguaje, este en concreto está formado por:
- variables (a, ab, c, ef, f, m)
- conectivas/operadores lógicos (¬, v, ^, ->, <->)
- auxiliares, los paréntesis
La gramática del lenguaje, consiste en un conjunto de reglas que definen recursivamente las cadenas de caracteres que pertenecen al lenguaje. A las cadenas de caracteres construidas según estas reglas se las llama fórmulas bien formadas (fbf). Las reglas para construir fbfs son:
- Toda variable proposicional es una fbf
- Si A es una fbf, entonces ¬A también
- Si A y B son fbf, entonces también lo son A^B, AvB, A->B, A<->B
- La jerarquía de conectivas es:
- ¬
- ^ y v
- -> y <->
- La fbf queda definida por la conectiva de mayor jerarquía.
Una expresión formada por símbolos del alfabeto del lenguaje proposicional es una fbf si representa la formalización de una proposición atómica o molecular. Una fbf atómica no tiene ninguna conectiva lógica, una fbf molecular tiene al menos una.
Las conectivas lógicas tienen los siguientes significados:
- Negador (¬). “Es falso que P1”. ¬P1.
- Conjunción (^). ” P1 y P2″, “P1 aunque P2” … . P1 ^ P2.
- Disyunción (v). “P1 o P2”. P1 v P2.
- Condicional (->). “Si P1, entonces P2”. P1 -> P2. “P1 es suficiente para P2”. P1 -> P2. “P2 es necesario para P1”. P2 -> P1.
- Bicondicional (<->) “P1 si y sólo si P2”, “P1 es suficiente y necesario para P2”. P1 <-> P2.
Un operador binario es asociativo por la izquierda si el operador por la izquierda tiene prioridad sobre el de la derecha, también binario, y viceversa.
Por tanto, siendo & un operador binario cualquiera:
- A&B = (A&B)
- A&B -> C = (A&B) -> C
- A -> B -> C = A -> (B -> C) Propiedad asociativa por la derecha.
- A&B&C = (A&B)&C
- A<->B->C = A<->(B->C)
Formalizar proposiciones al lenguaje proposicional, unos ejemplos del proceso son los siguientes:
P: “Hoy hace sol” P es atómica.
Marco Conceptual = {hoy hace sol:p} p es atómica.
Formalización: Fbf(P):p. La fórmula bien formada de P es p.
P: “No vamos al cine a menos que mañana vayamos de paseo” P es molecular.
MC = {vamos al cine:p, vamos de paseo:q} p y q son atómicas.
Fbf(P): p -> q.