Eliminación de Gauss

Recordad que para resolver un sistema de ecuaciones podemos, sin alterar las soluciones del sistema:

  • Intercambiar el orden de las ecuaciones.
  • Sumar algunas de sus ecuaciones.
  • Multiplicar alguna ecuación por un número distinto de 0.

Esto es precisamente lo que se hace en el método de Gauss: se modifican las ecuaciones para obtener un sistema mucho más fácil de resolver, pero, en lugar de hacerlo sobre las ecuaciones, se hace sobre la matriz ampliada del sistema.

El método de eliminación de Gauss consiste en operar sobre la matriz ampliada del sistema hasta hallar la forma escalonada (una matriz triangular superior). Así, se obtiene un sistema fácil de resolver por sustitución hacia atrás.

Si finalizamos las operaciones al hallar la forma escalonada reducida (forma lo más parecida a la matriz identidad), entonces el método se denomina eliminación de Gauss-Jordan.

  • Si se obtiene la matriz identidad, el sistema es compatible determinado (como en el sistema 1).
  • Si se obtiene alguna fila de ceros con término independiente distinto de 0, el sistema es incompatible (como en el sistema 2).
  • Si se obtiene alguna fila de ceros y no estamos en el caso anterior, el sistema es compatible indeterminado (como en el sistema 3).

Ejemplo

Explicamos el método de eliminación de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. Álgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matemáticas.

La matriz ampliada del sistema es

Explicamos el método de eliminación de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. Álgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matemáticas.

A fila 1 le restamos dos veces la fila 3 y a la fila 2 le restamos la fila 3:

Explicamos el método de eliminación de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. Álgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matemáticas.

A la fila 1 le restamos la fila 2:

Explicamos el método de eliminación de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. Álgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matemáticas.

Dividimos la fila 1 entre 3:

Explicamos el método de eliminación de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. Álgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matemáticas.

A la fila 3 le sumamos la fila 1 y a la fila 2 le restamos dos veces la fila 1:

Explicamos el método de eliminación de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. Álgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matemáticas.

Dividimos la fila 2 entre 3:

Explicamos el método de eliminación de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. Álgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matemáticas.

A la fila 3 le sumamos la fila 2:

Explicamos el método de eliminación de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. Álgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matemáticas.

Reordenamos las 3 filas:

Explicamos el método de eliminación de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. Álgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matemáticas.

Ya tenemos resuelto el sistema porque la matriz obtenida es la solución:

Explicamos el método de eliminación de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. Álgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matemáticas.

El sistema es compatible determinado.

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