¿Por qué lo que suma pasa al otro lado restando?

Cuando resolvemos una ecuación, los números que están sumando pasan restando al otro lado de la igualdad; y los que están restando pasan al otro lado sumando.

Por ejemplo,

Explicamos por qué los números que suman en un lado de la igualdad pasan al otro lado restando. Con ejemplos y ecuaciones. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Pero ¿por qué  esto es correcto? 

Para que una igualdad sea cierta, lo que hay a los dos lados del signo “=” debe ser lo mismo o tener el mismo resultado.

Por ejemplo,

Explicamos por qué los números que suman en un lado de la igualdad pasan al otro lado restando. Con ejemplos y ecuaciones. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Si queremos sumar 1 en el lado izquierdo, tenemos que hacerlo también en el lado derecho para mantener la igualdad:

Explicamos por qué los números que suman en un lado de la igualdad pasan al otro lado restando. Con ejemplos y ecuaciones. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Ocurre lo mismo si queremos restar:

Explicamos por qué los números que suman en un lado de la igualdad pasan al otro lado restando. Con ejemplos y ecuaciones. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Y, también, si queremos multiplicar (o dividir):

Explicamos por qué los números que suman en un lado de la igualdad pasan al otro lado restando. Con ejemplos y ecuaciones. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Supongamos que tenemos la siguiente igualdad:

Explicamos por qué los números que suman en un lado de la igualdad pasan al otro lado restando. Con ejemplos y ecuaciones. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Por lo dicho anteriormente, podemos restar 1 en ambos lados y la igualdad se mantiene:

Explicamos por qué los números que suman en un lado de la igualdad pasan al otro lado restando. Con ejemplos y ecuaciones. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Los dos 1 del lado izquierdo se cancelan:

Explicamos por qué los números que suman en un lado de la igualdad pasan al otro lado restando. Con ejemplos y ecuaciones. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Resumiendo, hemos partido de la igualdad 2+1 = 3 y hemos llegado a la igualdad 2 = 3 -1. Es decir,

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Por tanto, podemos decir que lo que suma en un lado puede pasar al otro lado restando.

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¿El 0 es par? ¿Por qué?

Para ver que el número 0 es par, debemos recordar los conceptos y propiedades de los números pares y los números impares.

Número par

Los números pares son los números enteros que son múltiplos de 2, es decir, los números que se obtienen al multiplicar otro número por 2.

Ejemplo: el 2, el 4 y el 6 son pares porque

El número 0 es un número par y explicamos el porqué: cumple la definición de número par y las propiedades de los números pares. Números enteros, números pares y números impares. Con ejemplos. Secundaria. Bachillerato. Matemáticas.

 

Los números pares también se definen como los números divisibles entre 2, es decir, como los números cuya división entre 2 tienen como resultado un número entero.

Ejemplos

  • El 8 y el 10 son pares porque se obtiene un entero al dividirlos entre 2:

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  • El 3 y el 5 no son pares porque se obtienen decimales al dividirlos entre 2:

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Propiedad

Si un número a es par, existe algún número entero n tal que

El número 0 es un número par y explicamos el porqué: cumple la definición de número par y las propiedades de los números pares. Números enteros, números pares y números impares. Con ejemplos. Secundaria. Bachillerato. Matemáticas.

Ejemplos

  • El número 1234 es par y se puede escribir como

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  • El número 1010 es par y se puede escribir como

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Número impar

Los números impares son los números enteros que no son pares.

 

Ejemplos

Como 1, 3 y 5 no son divisibles entre 2 (el resultado no es un número entero), son números impares.

Propiedad

Si un número a es impar, entonces existe algún número entero n tal que

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Ejemplos

  • El número 123 es impar y se puede escribir como

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  • El número 101 es impar y se puede escribir como

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El número 0 es par

El número 0 es par porque es múltiplo de 2:

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Además, la división 0 entre 2 es un número entero:

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Además, si 0 fuese un número impar, debería existir un número entero n tal que

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Pero, si resolvemos la ecuación anterior, tenemos que n ha de ser un número no entero:

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Ecuación del círculo

Recordad que la ecuación de la circunferencia de centro P = (a, b) y radio R es

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Los puntos cuyas coordenadas cumplen dicha ecuación forman parte de la circunferencia.

Un círculo es una circunferencia que incluye los puntos de su interior. La distancia de dichos puntos del interior hasta el centro de la circunferencia es menor que el radio. Por tanto, la ecuación del círculo de centro (a, b) y radio R es

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Finalmente, si no queremos el borde del círculo, escribimos el signo de desigualdad estricta:

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

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¿Dividir entre 0 da infinito?

Es frecuente escuchar a gente decir que el resultado de dividir entre 0 es infinito.  Sin embargo, esto no es correcto: no se puede dividir entre 0 y, en los supuestos casos en que “se puede”, el resultado no sería siempre infinito.  A continuación, mostramos explicamos el por qué y el origen de este falso mito.

Se dice que el resultado es infinito porque cuanto más se acerca el divisor a 0, más grande es el resultado de la división. Por ejemplo,

  • 1 entre 2 es 0,5
  • 1 entre 1 es 1
  • 1 entre 0,5 es 2
  • 1 entre 0,3  es 3,3333…
  • 1 entre 0,1 es 10
  • 1 entre 0,01 es 100
  • 1 entre 0,001 es 1.000
  • 1 entre 0,0001 es 10.000

En el cálculo diferencial, dada una función y = f(x), el límite de dicha función en el punto x = a se denota por

Mostramos algunos ejemplos de contradicciones que se obtienen al asumir que se puede dividir entre 0. También, hablamos sobre el falso mito de que dividir entre cero tiene resultado infinito y su origen. Secundaria. Bachillerato. Matemáticas.

Y puede verse como el número al que se aproxima la función y = f(x) cuando x se aproxima a x = a.

 

Por ejemplo, consideremos la función f(x) = 2/x² cuya gráfica es la siguiente:

Mostramos algunos ejemplos de contradicciones que se obtienen al asumir que se puede dividir entre 0. También, hablamos sobre el falso mito de que dividir entre cero tiene resultado infinito y su origen. Secundaria. Bachillerato. Matemáticas.

Observando la gráfica se aprecia claramente que cuando x se aproxima a  0 los valores y = f(x) crecen mucho. Por ejemplo,

Mostramos algunos ejemplos de contradicciones que se obtienen al asumir que se puede dividir entre 0. También, hablamos sobre el falso mito de que dividir entre cero tiene resultado infinito y su origen. Secundaria. Bachillerato. Matemáticas.

La función y = f(x) crece infinitamente cuando x se aproxima a 0, por lo que se dice que la función tiene límite infinito:

Mostramos algunos ejemplos de contradicciones que se obtienen al asumir que se puede dividir entre 0. También, hablamos sobre el falso mito de que dividir entre cero tiene resultado infinito y su origen. Secundaria. Bachillerato. Matemáticas.

 

El cálculo de límites a veces resulta un poco complicado, razón por la que se utilizan ciertas reglas que SÓLO tienen sentido cuando trabajamos con límites. Una de estas reglas es que un número distinto de 0 dividido entre 0 es infinito. Por ejemplo, usamos esta regla para calcular el límite anterior:

Mostramos algunos ejemplos de contradicciones que se obtienen al asumir que se puede dividir entre 0. También, hablamos sobre el falso mito de que dividir entre cero tiene resultado infinito y su origen. Secundaria. Bachillerato. Matemáticas.

Nota: técnicamente, la igualdad anterior no es correcta (por eso se escribe en rojo).

 

Veamos otro ejemplo:

Mostramos algunos ejemplos de contradicciones que se obtienen al asumir que se puede dividir entre 0. También, hablamos sobre el falso mito de que dividir entre cero tiene resultado infinito y su origen. Secundaria. Bachillerato. Matemáticas.

Es importante remarcar que esta regla exige que sea un número DISTINTO de 0 dividido entre 0, ya que 0/0 es una indeterminación (indeterminación 0/0) que en cada límite puede tener un resultado distinto.

Por ejemplo,

Mostramos algunos ejemplos de contradicciones que se obtienen al asumir que se puede dividir entre 0. También, hablamos sobre el falso mito de que dividir entre cero tiene resultado infinito y su origen. Secundaria. Bachillerato. Matemáticas.

Y, sin embargo, si sustituimos x = 0 en los límites, tenemos la fracción 0/0:

Mostramos algunos ejemplos de contradicciones que se obtienen al asumir que se puede dividir entre 0. También, hablamos sobre el falso mito de que dividir entre cero tiene resultado infinito y su origen. Secundaria. Bachillerato. Matemáticas.

 

Conclusión

Como conclusión, el resultado de dividir entre cero no es infinito. De hecho, ni siquiera está permitida la operación “dividido entre 0”, como hemos visto. Ahora bien, en el cálculo diferencial se utiliza la regla “un número entre 0 es infinito” sólo para referirse a que el resultado de dividir entre números cercanos a cero es un número muy grande.

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¿Se puede dividir entre 0?

Aunque pueda pensarse que tendría sentido la división entre cero, esta operación no es posible matemáticamente porque conduce a contradicciones matemáticas, como muestran algunos ejemplos que proporcionamos a continuación.

Ejemplo 1

Partiendo de la igualdad a = 0, sumando 1  y  dividiendo entre a en ambos lados, obtenemos una contradicción:

Mostramos algunos ejemplos de contradicciones que se obtienen al asumir que se puede dividir entre 0. También, hablamos sobre el falso mito de que dividir entre cero tiene resultado infinito y su origen. Secundaria. Bachillerato. Matemáticas.

Esta contradicción surge en la cuarta igualdad, cuando hemos dividido entre a = 0.

 

Ejemplo 2

La división de números reales a/b es el único número real c tal que a = b·c, es decir,

Mostramos algunos ejemplos de contradicciones que se obtienen al asumir que se puede dividir entre 0. También, hablamos sobre el falso mito de que dividir entre cero tiene resultado infinito y su origen. Secundaria. Bachillerato. Matemáticas.

Si suponemos que b puede ser 0,  entonces tenemos que para cualquier número a existe un único número c tal que a = b·c = 0·c = 0, lo que significa que cualquier número real, a, es igual a 0, lo cual es falso.

 

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Cómo obtener la fórmula de (a + b)²

Recordad que para calcular el cuadrado de una suma tenemos una fórmula:

Explicamos cómo calcular el cuadrado de una suma y de una resta: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 y (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2. Con ejemplos y problemas resueltos. Álgebra. Matemáticas. Secundaria.

Ahora bien, si no recordamos dicha fórmula o queremos saber de dónde viene, sólo tenemos que realizar una multiplicación.

Como a² = a·a, podemos escribir el cuadrado de la suma como un producto:

Cuadrado y cubo de un binomio (suma y resta). Fórmulas, demostraciones y ejercicios resueltos. Álgebra. Matemáticas.

Observad que cada sumando del primer paréntesis debe multiplicar a cada uno del segundo. Además, hay que tener en cuenta que a·b = b·a

Del mismo modo podemos demostrar la fórmula para el cuadrado de la resta.

Más información y ejemplos en

 

Suma al cuadrado: (a +b)²

Como regla general, el cuadrado de la suma es distinto de la suma de los cuadrados. Es decir,

Explicamos cómo calcular el cuadrado de una suma y de una resta: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 y (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2. Con ejemplos y problemas resueltos. Álgebra. Matemáticas. Secundaria.

Por ejemplo, si a = 1 y b = 2, la suma de sus cuadrados y el cuadrado de su suma son distintos:

Explicamos cómo calcular el cuadrado de una suma y de una resta: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 y (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2. Con ejemplos y problemas resueltos. Álgebra. Matemáticas. Secundaria.

Para calcular el cuadrado de una suma disponemos de una sencilla fórmula:

Explicamos cómo calcular el cuadrado de una suma y de una resta: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 y (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2. Con ejemplos y problemas resueltos. Álgebra. Matemáticas. Secundaria.

Lo mismo ocurre cuando se trata de una resta:

Explicamos cómo calcular el cuadrado de una suma y de una resta: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 y (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2. Con ejemplos y problemas resueltos. Álgebra. Matemáticas. Secundaria.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Explicamos cómo calcular el cuadrado de una suma y de una resta: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 y (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2. Con ejemplos y problemas resueltos. Álgebra. Matemáticas. Secundaria.

Ejemplo 2

Explicamos cómo calcular el cuadrado de una suma y de una resta: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 y (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2. Con ejemplos y problemas resueltos. Álgebra. Matemáticas. Secundaria.

Ejemplo 3

Explicamos cómo calcular el cuadrado de una suma y de una resta: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 y (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2. Con ejemplos y problemas resueltos. Álgebra. Matemáticas. Secundaria.

Más ejemplos en

La raíz de la suma es menor que la suma de las raíces

Sean x e y dos números NO negativos, entonces

Es decir, la raíz cuadrada de su suma es menor o igual que la suma de sus raíces cuadradas.

Nota: es necesario exigir que x e y sean no negativos para que existe su raíz cuadrada.

Ejemplo: Sean x = 1 e y = 2, entonces la raíz de la suma es

Y la suma de las raíces es

Se cumple la desigualdad:

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Ecuación de una circunferencia

La circunferencia de radio R y centro P = (a, b) es el conjunto de puntos del plano tales que su distancia al punto P es exactamente R:

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Dichos puntos cumplen una ecuación, la ecuación de la circunferencia, que es la siguiente:

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Si queremos saber si un punto forma parte de una circunferencia dada (o de un círculo), sólo tenemos que comprobar si sus coordenadas cumplen la ecuación.

Ejemplo: la circunferencia x ²+ y² = 1 tiene centro (0,0) y su radio es 1

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

El punto (0, 1) es de la circunferencia y, por tanto, sus coordenadas cumplen la ecuación de la circunferencia:

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Sin embargo, el punto (1, 1) no cumple la ecuación porque no es un punto de la circunferencia:

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

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Ecuaciones con fracciones

Fracciones con igual denominador

Si tenemos una ecuación con fracciones con el mismo denominador, para eliminar las fracciones de la ecuación sólo tenemos que multiplicar TODOS los sumandos de la ecuación por el denominador.

Ejemplo:

Explicamos cómo resolver ecuaciones con fracciones: tenemos que multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. También, recordamos algunas propiedades de las fracciones. Con ejemplos y ecuaciones resueltas. Secundaria. ESO. Álgebra. Matemáticas.

Multiplicamos todos los sumandos por el único denominador 2 y los denominadores desaparecen:

Explicamos cómo resolver ecuaciones con fracciones: tenemos que multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. También, recordamos algunas propiedades de las fracciones. Con ejemplos y ecuaciones resueltas. Secundaria. ESO. Álgebra. Matemáticas.

Resolver la ecuación es muy sencillo ahora:

Explicamos cómo resolver ecuaciones con fracciones: tenemos que multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. También, recordamos algunas propiedades de las fracciones. Con ejemplos y ecuaciones resueltas. Secundaria. ESO. Álgebra. Matemáticas.

Fracciones con distinto denominador

Si tenemos una ecuación con denominadores distintos, podemos multiplicar TODOS los sumandos de la ecuación por el MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm) de los denominadores.

Recordad que para calcular el mcm de dos números tenemos que descomponerlos en un producto de potencias de números primos y escoger los factores comunes y no comunes al mayor exponente.

Ejemplo:

Explicamos cómo resolver ecuaciones con fracciones: tenemos que multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. También, recordamos algunas propiedades de las fracciones. Con ejemplos y ecuaciones resueltas. Secundaria. ESO. Álgebra. Matemáticas.

Podemos reescribir la ecuación extrayendo las x del numerador:

Explicamos cómo resolver ecuaciones con fracciones: tenemos que multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. También, recordamos algunas propiedades de las fracciones. Con ejemplos y ecuaciones resueltas. Secundaria. ESO. Álgebra. Matemáticas.

Tenemos los denominadores 2 y 3. Como son números primos, su mínimo común múltiplo es 6, así que multiplicamos todos los sumandos por 6:

Explicamos cómo resolver ecuaciones con fracciones: tenemos que multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. También, recordamos algunas propiedades de las fracciones. Con ejemplos y ecuaciones resueltas. Secundaria. ESO. Álgebra. Matemáticas.

Resolvemos la ecuación:

Explicamos cómo resolver ecuaciones con fracciones: tenemos que multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. También, recordamos algunas propiedades de las fracciones. Con ejemplos y ecuaciones resueltas. Secundaria. ESO. Álgebra. Matemáticas.

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