El teorema de Rouché-Frobenius es de gran importancia en el Álgebra. En esta página vamos a enunciar el teorema y a ver un ejemplo de aplicación.
Teorema de Rocuhé-Frobenius
Sea el sistema de ecuaciones en forma matricial Ax = b, donde A es la matriz de coeficientes, b es la matriz columna de términos independientes y x la matriz columna de incógnitas. Consideramos que el sistema tiene m ecuaciones y n incógnitas, así que la dimensión de A es mxn y la dimensión de x y de b es nx1.
El teorema establece que
- El sistema Ax = b es compatible si el rango de la matriz A coincide con el rango de la matriz ampliada (A|b).
- El sistema Ax = b es compatible determinado si el rango de la matriz A y el de la matriz ampliada (A|b) es igual a n.
Ejemplo de aplicación
Consideremos el sistema de ecuaciones
La matriz ampliada del sistema es:
El rango de la matriz es
ya que tiene un determinante de dimensión 3 no nulo:
Además, como el determinante anterior también es el determinante de la matriz A, la matriz de coeficientes también tiene rango 3:
Por tanto, tenemos que los rangos de las dos matrices coinciden
y, por el teorema de Rouché-Frobenius, como el rango es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.
En efecto, la única solución del sistema es, en forma matricial,
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