Sistema de ecuaciones logarítmicas

En esta página resolvemos detalladamente dos sistemas de ecuaciones logarítmicas.

1. Introducción

Recordad que una ecuación logarítmica es una ecuación en la que la o las incógnitas aparecen multiplicando/dividiendo a logaritmos, en sus bases o en sus argumentos.

Un sistema de ecuaciones logarítmicas es un conjunto de ecuaciones logarítmicas cuya solución es solución de todas las ecuaciones logarítmicas.

Para poder resolver estos sistemas, necesitamos conocer las propiedades de los logaritmos (incluyendo el cambio de base) y las propiedades de las potencias.

2. Ejemplos de sistemas

Sistema 1

Sistemas de ecuaciones logarítmicas resueltos

Solución:

El sistema está formado por dos ecuaciones con dos incógnitas (x e y).

Escribimos los términos independientes (3 y 1) como logaritmos en base 10 para tener igualdades entre logaritmos en la misma base:

Sistemas de ecuaciones logarítmicas resueltos

Reescribimos el sistema:

Sistemas de ecuaciones logarítmicas resueltos

Dos logaritmos en la misma base son iguales si sus argumentos son iguales. Por tanto, podemos igualar los argumentos de los logaritmos de cada ecuación:

Sistemas de ecuaciones logarítmicas resueltos

Observad que el sistema obtenido no es lineal, pero es fácil resolverlo, por ejemplo, por el método de sustitución.

De la segunda ecuación tenemos

Sistemas de ecuaciones logarítmicas

Sustituimos en la primera:

Sistemas de ecuaciones logarítmicas resueltos

Haciendo la raíz cuadrada, tenemos dos soluciones para y:

Sistemas de ecuaciones logarítmicas resueltos

Sustituyendo en la primera ecuación, hallamos la otra incógnita: si y=10, entonces x=100; si y=-10, entonces x=-100.

Como los argumentos de los logaritmos del sistema inicial son positivos para las soluciones encontradas, el sistema tiene dos soluciones.

Una solución es

Sistemas de ecuaciones logarítmicas resueltos

Y la otra es

Sistemas de ecuaciones logarítmicas resueltos

Sistema 2

Sistemas de ecuaciones logarítmicas resueltos

Solución:

Escribimos los términos independientes (2 y 1) como logaritmos en base 2:

Sistemas de ecuaciones logarítmicas resueltos

Como tenemos todos los logaritmos en la misma base, podemos aplicar las propiedades de la suma y la resta de logaritmos:

Sistemas de ecuaciones logarítmicas resueltos

Igualamos los argumentos y resolvemos el sistema (de ecuaciones no lineales) por el método de sustitución.

De la primera ecuación,

Sistemas de ecuaciones logarítmicas resueltos

De la segunda,

Sistemas de ecuaciones logarítmicas resueltos

Sustituimos y en la segunda:

Sistemas de ecuaciones logarítmicas resueltos

Por tanto, tenemos las soluciones x=2 y x=-2. La negativa hay que descartarla porque haría que el argumento de un logaritmo sea negativo en el sistema inicial.

Por tanto, x=2 y, sustituyendo, y=2.

Así que la única solución del sistema de ecuaciones logarítmicas es

Sistemas de ecuaciones logarítmicas resueltos

 

Más ejemplos en sistemas de ecuaciones logarítmicas.

 

Enlaces a problemas/ejercicios resueltos de logaritmos: