Teorema del emparedado

El teorema del emparedado (también llamado teorema del sándwichdel bocadillo y de encaje, entre otros) es un resultado muy intuitivo y útil a la hora de calcular el límite de algunas funciones.

El teorema afirma que, si dos funciones tienen el mismo límite, entonces las funciones que están comprendidas entre éstas también tienen el mismo límite:

Enunciamos y demostramos el teorema del emparedado para funciones, series y sucesiones. Límite de una función (serie o sucesión) comprendida entre otras dos. Ejemplos de aplicación. Teorema del emparedado, del sándwich, de encaje o del bocadillo. Bachillerato y Universidad. Matemáticas. Análisis de una variable.

Ejemplo 1

Vamos a demostrar que

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Como el seno toma valores en el intervalo [-1, 1],

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Sólo tenemos que dividir entre x en esta relación para poder aplicar el teorema.

Como estamos calculando el límite cuando x tiende a +∞, podemos considerar x>0 y, por tanto, podemos dividir entre x sin cambiar los signos de desigualdad:

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Como el límite de -1/x y el de 1/x coinciden y es igual a 0, por el teorema del emparedado, tenemos

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Ejemplo 2

Vamos a demostrar que

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Tenemos que multiplicar por x, pero como x tiende a 0, puede tomar valores positivos y negativos.

Si x>0, entonces

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Por el teorema del emparedado,

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De forma análoga, si x<0,

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Por el teorema del emparedado,

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Como los límites laterales coinciden,

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Gráfica de la función:

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Enlaces con problemas de funciones: