Módulo y argumento de un número imaginario

Dado un número complejo en su forma binómica $z=a+bi$,  se define el módulo de $z$ como

Se define el argumento de $z$ como

Nota 1: la función arcotangente proporciona el ángulo entre -45º y 45º.

Nota 2: observad que, por ejemplo, la función arcotangente proporciona el mismo ángulo para $z=a-bi$ y para $w=-a+bi$. Sin embargo, $z$ y $w$ están en cuadrantes distintos, así que su argumento es distinto. Para solucionar esto:

• Si el complejo está en el segundo cuadrante ($a<0$, $b>0$), hay que sumar 180º al ángulo obtenido.
• Si el complejo está en el tercer cuadrante ($a<0$, $b<0$), hay que restar 180º al ángulo obtenido.

Nota 3: si $a=0$, el argumento es

• 0° (0 radianes) si $b=0$
• 90° ($\pi /2$ radianes) si $b>0$
• 270° ($3\pi /2$ radianes) si $b<0$

Además, se denomina argumento principal de , $Arg\left(z\right)$, al argumento de $z$ en el intervalo $\left]-{180}^{\circ },{180}^{\circ }\right]$ o, si es en radianes, $\left]-\pi ,\pi \right]$.

Si representamos el complejo $z=a+bi$en el plano complejo, su longitud es su módulo y el ángulo que forma con la parte positiva del eje horizontal es su argumento:

Ejemplo:

Calculamos el módulo de $z=3+5i$:

Calculamos el argumento de :

Más información:

• Introducción a los números complejos
• Formas binómica y polar
• Módulo y argumento de complejos
• Operaciones entre complejos
• Producto y cociente de complejos en forma binómica
• Producto y cociente de complejos en forma polar
• Propiedades de los números complejos
• Raíces de números complejos
• Calculadora de operaciones entre complejos
• Calculadora de forma polar y binómica de complejos
• Ecuaciones cuadráticas con soluciones complejas