Forma binómica, trigonométrica y polar de números imaginarios

En la forma binómica, un complejo z se escribe como la suma de un número real a y un número real b multiplicado por la unidad imaginaria i:

Formas binómica, trigonométrica y polar de los números complejos o imaginarios. Con ejemplos, problemas resueltos y representaciones. Secundaria, Bachillerato y Universidad.

El número a es la parte real de z y b es la parte imaginaria de z.

 

La forma trigonométrica del complejo z=a+b es

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El ángulo α que proporciona la función arcotangente es siempre entre -45° y 45°. Si el complejo pertenece el primer cuadrante (a>0b>0) o al cuarto (a>0b<0), el ángulo obtenido es el argumento del complejo.

Sin embargo, si el complejo está en el segundo cuadrante (a<0b>0), hay que sumarle 180°. Y si está en el tercer cuadrante, (a<0b<0), hay que restarle 180°.

Hay una función proporciona directamente el argumento: atan2(a,b).

El módulo, |z|, es la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de la parte real y de la parte imaginaria:

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Ejemplo: escribimos el complejo z = 1-i en forma trigonométrica:

Calculamos el módulo:

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Calculamos el ángulo que forma z:

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Por tanto, la forma trigonométrica de z es

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En la forma polar, el complejo se escribe en función de su módulo |z| y su argumento α como

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Ejemplo: escribimos el número imaginario z = -1+i en forma polar

Calculamos el módulo del complejo z:

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Calculamos su argumento:

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Nota: hemos sumado 180º grados al ángulo obtenido (-45º) porque el complejo está en el segundo cuadrante).

Por tanto, la forma polar de z es

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