Producto escalar de vectores (del plano)

Sean los vectores

Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.

Se define el producto escalar de dichos vectores como

Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.

donde α representa el ángulo que forman los vectores.

El producto se llama escalar porque el resultado es un escalar (un número real).

Otra forma de calcular dicho producto es multiplicando y sumando las coordenadas de los vectores:

Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.

A partir de ambas fórmulas podemos calcular el ángulo:

Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.

Ejemplo

Sean los vectores

Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.

Calculamos su producto escalar a partir de las coordenadas:

Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.

Ahora calculamos los módulos de los vectores para aplicar la fórmula anterior y obtener el ángulo que forman:

Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.

Por tanto, el ángulo es

Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.

Representación de los vectores:

Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.

Problemas resueltos de vectores: