Teorema del seno

El teorema del seno es un conocido e importante resultado de trigonometría que dice así:

Sea un triángulo cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ (son los ángulos opuestos a los lados, respectivamente). Entonces, se cumple la relación

el teorema del seno (con demostración) y problemas resueltos de su aplicación: calcular lados, ángulos y áreas de triángulos. Fórmula del área de un triángulo aplicando el teorema del seno.

Veamos dos ejemplos de aplicación:

Ejemplo 1: en el siguiente triángulo de lados a = 8cm y b = 7cm. Calcular cuánto mide el ángulo β sabiendo que el ángulo γ mide 45º.

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Como conocemos los lados a y b y el ángulo α, aplicamos el teorema del seno:

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Por tanto,

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Despejamos el seno de β:

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Finalmente, despejamos β utilizando la inversa del seno (arcoseno):

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Luego el ángulo es

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Ejemplo 2: se tiene un triángulo con ángulos α = 67° y β = 36° y un lado a = 6cm. ¿Cuánto mide el lado c?

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Para calcular el lado c necesitamos conocer el ángulo γ.

Recordemos que en todo triángulo la suma de sus ángulos internos es 180°, es decir, tenemos la ecuación:

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Despejamos el ángulo γ:

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Sustituimos los valores:

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Luego el ángulo es γ = 77º.

Ahora podemos aplicar el teorema del seno:

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Sustituimos los datos:

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Por tanto,

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Luego el lado c mide 6.35 cm.

Más ejemplos y temas relacionados:

Teorema del coseno

Dado un triángulo cualquiera con lados a, b y c con ángulos interiores α, β y γ (son los ángulos opuestos a los lados, respectivamente). Entonces, se cumplen las relaciones siguientes:

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Ejemplo: se tiene un triángulo cuyos lados b y c miden 45 y 66 cm respectivamente y cuyo ángulo α mide 47°. Hallar cuánto mide el lado a del triángulo.

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Como queremos calcular el lado a del triángulo, aplicamos la siguiente fórmula del teorema del coseno:

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Tenemos los datos necesarios para calcular a, es decir, tenemos bc y al ángulo α. Por tanto, sustituyendo los datos y haciendo la raíz cuadrada obtenemos:

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Luego el lado a mide aproximadamente 48.27 cm.

Nota: al hacer la raíz cuadrada hay que escribir el signo ±, pero como a representa una longitud, debe ser positiva.

Nota 2: utilizamos el signo  para indicar que el valor de a es una aproximación.

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