Matriz inversa

Si A es una matriz cuadrada de dimensión nxn y es regular (su determinante es distinto de 0), entonces existe una matriz llamada matriz inversa de A, A^-1, tal que

•  A^-1 es de dimensión nxn
• A^-1  es el inverso multiplicativo de A por ambos lados, es decir,

siendo I_n la matriz identidad de dimensión nxn

• Su determinante es

  

• La matriz inversa A^-1 es única, es decir, es la única matriz que cumple las igualdades del segundo punto.

Ejemplo

Para calcular la inversa disponemos de varios métodos. Uno de ello es el que describimos a continuación:

Dada una matriz A cuadrada de dimensión nxn y regular, definimos la matriz por bloques formada por la matriz A y  la matriz I_n (matriz identidad de dimensión nxn):

Por ejemplo, si A es dimensión 2×2,

Y si es de dimensión 3×3,

Para calcular la matriz inversa de A, se realizan operaciones elementales fila para conseguir la forma escalonada reducida de la matriz G.

Dicho en otras palabras, se realizan operaciones elementales filas hasta conseguir la matriz identidad en el bloque izquierdo de la matriz G, es decir,

Al terminar las operaciones, la matriz identidad que había en el lado derecho se ha transformado en otra matriz B. Esta matriz B es precisamente la matriz inversa de A.

Ejemplo

Vamos a calcular la matriz inversa del ejemplo anterior. Construimos la matriz por bloques: