La regla de Cramer proporciona la solución de sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados (con una única solución) mediante el cálculo de determinantes. Se trata de un método muy rápido para resolver sistemas, sobre todo, para sistemas de dimensión 2×2 y 3×3. Para dimensiones mayores, los determinantes son bastante más engorrosos.
Recordad que un sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como
donde
- A es la matriz de coeficientes del sistema,
- X es la matriz con las incógnitas,
- B es la matriz con los términos independientes de las ecuaciones.
Para poder aplicar Cramer, la matriz A tiene que ser cuadrada y regular (determinante distinto de 0).
La regla de Cramer establece que la incógnita xk de la solución del sistema, cuyos coeficientes están en la columna k de A, es
donde Ak es como la matriz A pero cambiando su columna número K por la columna de términos independientes, B.
Es más fácil de entender con un ejemplo:
Ejemplo: sistema de dimensión 2×2
La matriz de coeficientes del sistema es
La matriz de incógnitas es
La matriz de términos independientes es
Calculamos el determinante de A:
Podemos aplicar la regla de Cramer.
La primera incógnita es x, cuyos coeficientes son los de la primera columna de A. La matriz A1 es como A pero cambiando dicha columna por la columna B:
Calculamos x:
La segunda incógnita es y y sus coeficientes son los de la segunda columna de A. Tenemos que calcular el determinante de la matriz
Calculamos y:
Por tanto, la solución del sistema es
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