Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en ]a, b[. Entonces,
- La función f es monótona creciente en el intervalo ]a, b[ si, y sólo si, f'(x)≥0 para todo x∈]a, b[.
- La función f es monótona decreciente en el intervalo ]a, b[ si, y sólo si, f'(x)≤0 para todo x∈]a, b[.
Decimos que c∈]a, b[ es un punto crítico si f'(x)=0.
Los puntos críticos son los candidatos a ser extremos relativos (y absolutos) de la función.
Aplicaciones
Además de la proporcionar la monotonía de la función, el criterio de la primera derivada se utiliza para hallar extremos relativos y determinar su tipo (máximo o mínimo).
Si c es un punto crítico de f, entonces:
- Si f es creciente a la izquierda de c y decreciente a su derecha, c es un máximo.
- Si f es decreciente a la izquierda de c y creciente a su derecha, c es un mínimo.
- Si la monotonía de f es igual a ambos lados de c, entonces c no es un extremo relativo.
Ejemplo 1
Demostrar que la siguiente función es monótona creciente para x>4/9:
Derivamos la función:
Calculamos los puntos críticos:
El signo de la derivada se mantiene constante en el intervalo x>4/9. Determinamos su signo calculando la imagen de cualquier punto de dicho intervalo:
Por tanto, la función f es monótona creciente en el intervalo (4/9, +∞).
Gráfica:
Nota: no hemos estudiado la monotonía en el resto de los reales.
Ejemplo 2
Hallar los extremos de la siguiente función polinómica:
Calculamos su derivada:
Calculamos los puntos críticos:
Hay dos puntos críticos: x=1/3 y x=-1/3.
Obviamente, el signo de la derivada se mantiene constante en los intervalos (-∞, -1/3), (-1/3, 1/3) y (1/3, +∞), así que podemos evaluar la derivada en cualquier punto de cada intervalo para determinar su signo:
Por tanto,
- La función f es creciente en (-∞, -1/3).
- La función f es decreciente en (-1/3, 1/3).
- La función f es creciente en (1/3, +∞).
Por tanto, deducimos que x=-1/3 es un máximo y x=1/3 es un mínimo.
Teniendo en cuenta que los límites de f cuando x→±∞ son infinitos, los extremos no son absolutos.
Gráfica:
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