Función inversa

Definimos función inyectiva, función suprayectiva y función inversa.

Ejemplo

Sea la función dada por

Definimos función inyectiva, suprayectiva y biyectiva. Explicamos qué es y cómo calcular la función inversa. Con ejemplos y problemas resueltos. Matemáticas. Funciones.

La imagen de -1 es 0, pero ¿cuál es la anti-imagen de 2 y la de 4?

Podemos resolver las ecuaciones f(x)=2 y f(x)=4, pero es más rápido si disponemos de la función inversa:

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Calculamos las anti-imágenes de 2 y 4:

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Gráfica de f:

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Función inyectiva

Una función es inyectiva si las imágenes de elementos distintos son distintas. Es decir,

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O bien,

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Para comprobar que una función es inyectiva, se tiene que demostrar que si f(a)=f(b) entonces a=b.

Ejemplo:

La función f(x)=2 no es inyectiva. Por ejemplo, las imágenes de 1 y -1 son iguales:

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Gráfica:

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Función suprayectiva

Una función f es suprayectiva o sobreyectiva si todo elemento del codominio tiene anti-imagen. Es decir,

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Esta propiedad depende del codominio: podemos definir el codominio para conseguir que una función sea suprayectiva.

Ejemplo

La función f(x)=2x es suprayectiva:

Sea b un número, entonces, su anti-imagen es a=b/2  ya que

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Por ejemplo, la anti-imagen de 9 es 9/2.

Función biyectiva

Una función f es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Función inversa

Toda función biyectiva, f, tiene una función inversa, f – 1.

La función inversa es la función que cumple

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Es decir,

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Ejemplo

La función f(x)=2x es biyectiva.

Comprobamos que la función f – 1(x) = x/2 es su inversa:

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Cálculo de la inversa

Para calcular la inversa seguimos los siguientes pasos:

1. Igualamos la expresión de la función a y.

2. Despejamos la incógnita x (así, queda en función de y).

3. Cambiamos la x por la y y viceversa. La expresión obtenida es la de la inversa.

Ejemplo

Calculamos la inversa de la función

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1. Igualamos a y:

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2. Despejamos x:

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3. Intercambiamos x por y:

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Por tanto, la función inversa es

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Enlaces con problemas: