Intuitivamente, una función es continua cuando podemos representar su gráfica de un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel.
Ejemplos:
Ejemplo de una función continua:
La gráfica se puede representar de un trazo porque es una recta.
Ejemplo de una función no continua:
Necesitamos realizar dos trazos para representar la gráfica. Esta función es discontinua en el punto x=0. Esto ocurre porque x=0 no tiene imagen:
La función es continua en los reales excepto 0:
Definición formal
Una función f es continua en el punto x=a si el límite de la función por ambos lados de a coincide con su imagen, f(a).
Es decir, f es continua en x=a si
Si esto no ocurre, o bien, no existe f(a), se dice que f es discontinua en el punto x=a.
Una función es continua si es continua en todos los puntos de su dominio.
Ejemplo
La función f(x)=1/x no es continua en 0 porque sus límites laterales no coinciden y, además, no existe la imagen de 0:
Casos generales
Podemos asegurar de antemano la continuidad de algunas funciones:
- Una función polinómica es continua en todos los reales.
- Una función racional es continua en los reales que no anulan su denominador.
- Una función logarítmica es continua en los reales que hacen su argumento positivo.
Ejemplo 1
Estudiamos la continuidad de la función
La función raíz cuadrada es continua en los puntos para los cuales el radicando es no negativo. Tenemos que hallar estos puntos.
Igualamos el radicando a 0 y resolvemos la ecuación:
Estas dos soluciones dividen la recta real en tres intervalos:
En uno o dos de estos intervalos, el radicando de la función es no negativo. Para saber cuál es, sólo tenemos que escoger algún punto al azar de cada intervalo.
Primer intervalo:
Segundo intervalo:
Tercer intervalo:
Por tanto, el radicando es no negativo en el primer y tercer intervalo. Luego la función es continua en
Observad que incluimos los puntos x=2 y x=-2 porque para estos valores el radicando es 0.
Gráfica de la función:
Ejemplo 2
Estudiamos la continuidad de la función definida a trozos
La función es continua en cada uno de los tres intervalos puesto que se trata de polinomios. Los posibles candidatos a puntos de discontinuidad son los extremos de los intervalos: x=0 y x=1.
Vamos a calcular los límites laterales en estos puntos.
Punto x=0:
Punto x=1:
El único punto de discontinuidad es x=0.
Gráfica de la función:
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