En esta página definimos el logaritmo y calculamos logaritmos de distintas bases a partir de su definición, es decir, sin calculadora, sin aproximar, sin aplicar sus propiedades y sin cambiar la base.
1. Definición del logaritmo
El logaritmo en base b de un número a se representa por logb(a) y es el número c que cumple bc = a:
- El número b es la base del logaritmo. Tiene que ser un real positivo distinto de 1.
- El número a es el argumento del logaritmo.
- El número c es el logaritmo en base b de a.
Si se sobreentiende, no es necesario escribir la base.
Ejemplos:
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- El logaritmo en base 10 de 1000 es 3 porque 10 al cubo es 1000:
- El logaritmo en base 5 de 125 es 3 porque 5 al cubo es 125:
- El logaritmo en base 10 de 1 es 0 porque 10 elevado a 0 es 1:
- El logaritmo en base 10 de 1000 es 3 porque 10 al cubo es 1000:
Las bases que más se utilizan en los logaritmos son 10, 2 y e. Por esta razón, solemos referirnos a ellos directamente como logaritmo decimal, binario y natural, respectivamente.
2. Cálculo de logaritmos
Logaritmo 1
Solución:
Recordad que el exponente negativo es la inversa de una fracción. La fracción puede escribirse como una potencia negativa de 10:
Por tanto, el logaritmo es
Logaritmo 2
Solución:
El número decimal 0.001 es la potencia -3 de 10 (el exponente es el número de ceros). Por tanto,
Logaritmo 3
Solución:
Como 2 al cubo es 8,
Logaritmo 4
Solución:
Como 49 es 7 al cuadrado, la fracción del argumento del logaritmo es 7 elevado a -2 y, por tanto, el logaritmo es
Logaritmo 5
Resolver la siguiente ecuación logarítmica (hallar x):
Solución:
La base del logaritmo es 10. El logaritmo es 2.
Aplicando la definición del logaritmo, 10 elevado a 2 tiene que ser igual al argumento del logaritmo:
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