Grandes matemáticos que influyeron en Galileo y en el pensamiento de la edad Moderna: Arquímedes y las Matemáticas (2ª Parte)

En el anterior post, pudimos ver un breve resumen de la vida de Arquimedes de Siracusa, así como sus descubrimientos y anecdotas más importantes y de mayor relevancia. Hoy nos centraremos en sus contribuciones al ámbito de las matemáticas, especialmente en el área de la Geometría.

Se conocen hasta 11 obras de Arquimedes, algunas son correspondencia con otros científicos de Alejandría como Eratóstenes o Dositeo; otras obras se conocen por los escritos de Pappus de Alejandría, por ejemplo, menciona Sobre hacer esferas y otro trabajo sobre poliedros, mientras que Teón de Alejandría cita un comentario sobre la refracción de una obra perdida titulada Catoptrica. De esta forma siguiendo sus obras iremos desvelando, sus aportaciones a las matemáticas.

“Sobre el equilibrio de los planos“ en esta obra Arquímedes desarrollo la llamada Ley de la Palanca, en varfiuos postulados(teoría) y proposiciones (práctica):
Postulado 1: Pesos iguales a distancias iguales están en equilibrio y pesos iguales a distancias desiguales no están en equilibrio sino que se inclina (la palanca) hacia el peso que está a mayor distancia.
Se sobreentiende que las distancias se miden desde el fulcro o punto de apoyo de la palanca.

Postulado 2: Si, cuando los pesos ubicados a ciertas distancias están en equilibrio, se agrega algo a uno de los pesos ya no estarán en equilibrio, sino que desciende el lado donde se ha agregado peso.

Postulado 3: Análogamente, si algo se quita de uno de los pesos, ya no permanecerán en equilibrio y desciende el peso del que no se ha quitado nada.

En los postulados 2 y 3, se considera de manera implícita que todo es pesado y que la ligereza de un cuerpo no es otra cosa que la cualidad de ser menos pesado que otro cuerpo. Por otra parte, estos postulados resultan evidentes si nos imaginamos en la situación de estar realizando pesadas en una balanza de platillos de brazos iguales.

Postulado 4: Cuando figuras semejantes son iguales y se superponen una con la otra, sus centros de gravedad coinciden.

Postulado 5: En figuras semejantes que son desiguales, los centros de gravedad estarán similarmente situados. Por puntos análogos ubicados con relación a figuras semejantes, quiero decir puntos tales que si se trazan líneas rectas desde ellos con ángulos iguales, dichas líneas forman ángulos iguales con los correspondientes lados de las figuras.

Este postulado establece que figuras semejantes, es decir de la misma “forma”, pero desiguales, es decir de diferente tamaño, tendrán sus centros de gravedad en la misma posición “relativa”.

Postulado 6: Si magnitudes a ciertas distancias están en equilibrio, otras magnitudes iguales a ellas también estarán en equilibrio a las mismas distancias.

En este postulado, se plantea que a los efectos del equilibrio sólo son relevantes la magnitud y la distancia, con independencia de la forma o la sustancia. Es fundamental para la deducción de la ley de la palanca. Cuando Arquímedes dice “magnitudes iguales a otras magnitudes”, quiere decir “magnitudes del mismo peso”. Y cuando dice “magnitudes a ciertas distancias” quiere decir “los centros de gravedad de las magnitudes están a la misma distancia del fulcro” (Assis, 2008, p. 179).

Postulado 7: En cualquier figura cuyo perímetro es cóncavo en una y la misma dirección, el centro de gravedad debe estar dentro de la figura.

Con estos postulados, Arquímedes ha convertido un ámbito físico en una cuestión geométrica y, en el libro I deSobre el equilibrio de los planos, procede a demostrar rigurosamente siete proposiciones sobre el equilibrio.

Proposición 1: Pesos que se equilibran a iguales distancias son iguales.

Enuncia la inversa de la primera parte del Postulado 1, que se puede demostrar por el absurdo utilizando el Postulado 3. De acuerdo al Postulado 1 y a la Proposición 1, la igualdad de pesos y distancias es condición necesaria y suficiente del equilibrio.

Proposición 2: Pesos desiguales a distancias iguales no se equilibrarán sino que se inclinarán hacia el lado del peso mayor.

Proposición 3: Pesos desiguales se equilibran a distancias desiguales, el peso más grande estará a menor distancia que el peso más pequeño.

Proposición 4: Si dos pesos iguales no tienen el mismo centro de gravedad, el centro de gravedad de ambos tomados conjuntamente está en el punto medio de la línea que une sus centros de gravedad.

Proposición 5: Si tres magnitudes iguales tienen sus centros de gravedad sobre una línea recta a distancias iguales, el centro de gravedad del sistema coincidirá con el centro de gravedad de la magnitud ubicada en el punto medio.

Corolario 1: Lo mismo es verdad para cualquier número impar de magnitudes, si aquellas que están a iguales distancias del punto medio son iguales, mientras la distancia entres sus centros de gravedad sean iguales.

Corolario 2: Si hay un número par de magnitudes con sus centros de gravedad situados a iguales distancias sobre una línea recta y si las dos del medio son iguales, mientras que aquellas que equidistan entre si (a cada lado) son iguales respectivamente, el centro de gravedad del sistema es el punto medio de la línea que une los centros de gravedad de los dos del medio.

Con esta base Arquímedes usa los principios derivados para calcular las áreas y los centros de gravedad de varias figuras geométricas, incluyendo triángulos,paralelogramos y parábolas.

“Sobre la medida de un círculo” Arquímedes, trazo las medidas del circulo, en unas cartas enviadas a Dositeo, científico de Alejandría.
En el Teorema I de esa obra, Arquímedes nos ofrece una bella “cuadratura” del círculo con su método de exhaución; y en el Teorema III obtiene la famosísima aproximación del número π (¡la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro!), la fracción 22/17. La enorme influencia que la obra arquimediana ejerció sobre la comunidad científica a lo largo de la Edad Media árabe y latina, así como en el Renacimiento italiano, tuvo en laMedida del círculo el representante más eficaz e iniciático, tanto por la fascinación de lo circular, como por la sencillez de los enunciados de sus teoremas y el magistral desarrollo de sus demostraciones.

Arquímedes demostró que el lado del hexágono regular inscrito en un círculo es igual al radio de dicho círculo; así como que el lado del cuadrado circunscrito a un círculo es igual al diámetro de dicho círculo. De la primera proposición dedujo que el perímetro del hexágono inscrito era 3 veces el diámetro de la circunferencia, mientras que de la segunda dedujo que el perímetro del cuadrado circunscrito era 4 veces el diámetro de la circunferencia.

Afirmó además que toda línea cerrada envuelta por otra es de menor longitud que ésta, por lo que la circunferencia debía ser mayor que tres diámetros pero menor que cuatro. Por medio de sucesivas inscripciones y circunscripciones de polígonos regulares llegó a determinar el valor aproximado de π como:

Con los rudimentarios medios de los que disponía el sabio griego, el error absoluto que cometió en el cálculo de p resultó ser inferior a una milésima (0,0040 %).

“Sobre las espirales” La espiral de Arquímedes (también espiral aritmética) obtuvo su nombre del matemático siciliano Arquímedes, quien vivió en el siglo III antes de Cristo. Se define como el lugar geométrico de un punto moviéndose a velocidad constante sobre una recta que gira sobre un punto de origen fijo a Velocidad Angular constante.

En coordenadas polares (r, θ) la espiral de Arquímedes puede ser descrita por la ecuación siguiente:

siendo a y b números reales. Cuando el parámetro a cambia, la espiral gira, mientras que b controla la distancia en giros sucesivos.

Arquímedes describió esta espiral en su libro De las Espirales.

Esta curva se distingue de la espiral logarítmica por el hecho de que vueltas sucesivas de la misma tienen distancias de separación constantes (iguales a 2πb si θ es medido en radianes), mientras que en una espiral logarítmica la separación está dada por una progresión geométrica.
La espiral normal ocurre cuando x = 1.

“Sobre la esfera y el cilindro” Se sabía calcular, al menos desde la época de los egipcios, el volumen de prismas y cilindros. Demócrito (~460 a.C. – 360 a.C.) demostró que el volumen de una pirámide es igual a la tercera parte del de un prisma de igual base y altura, e igual hizo con el cono respecto del cilindro. Euclides había demostrado en sus “Elementos” que el volumen de dos esferas es entre sí como los cubos de sus diámetros, o como diríamos actualmente, que el volumen de una esfera es proporcional a su diámetro. Arquímedes demostró, una vez más, que esa constante de proporcionalidad estaba muy relacionada con  pi. Una de los resultados más notables del libro es la

PROPOSICIÓN 33.- La superficie de cualquier esfera es cuatro veces la de su círculo máximo.
La demostración vuelve a ser una doble reducción al absurdo, suponiendo primero que la superficie de la esfera es mayor que cuatro veces la del circulo y suponiendo luego que es menor, llegando en ambos casos a una contradicción. La técnica empleada es el método de exhaución de Eudoxo; es decir, inscribiendo y circunscribiendo cuerpos geométricos, como conos y troncos de cono (cuyas superficies había demostrado previamente), y aproximándose desde dentro y desde fuera a la superficie de la esfera. Quedó establecido por lo tanto que S=4*pi*r2.

Quedaba sin embargo por demostrar otro de los resultados más importantes del libro,  la

PROPOSICIÓN 34.- Cualquier esfera es igual a cuatro veces el cono que tiene su base igual al círculo máximo de la esfera, y su altura igual al radio de la esfera.
La demostración la hace basándose en los volúmenes del cono y del cilindro que había hallado previamente. Partiendo de una esfera cualquiera, considera un cilindro cuyo radio de la base es igual al radio de la esfera y su altura igual al radio, y un cono con base igual a la del cilindro y altura igual al radio de la esfera. Haciendo un corte horizontal en los tres cuerpos a una altura inferior al radio, demuestra que la superficie de la sección correspondiente al cilindro es igual a la suma de las superficies de las secciones correspondientes al cono y a la esfera.

 

Si el corte lo hacemos a una distancia d del punto más alto de la figura, entonces el radio del circulo que aparece en la esfera es la raíz de R2-d2. El radio del circulo que aparece en el cono es d. En el cilindro el radio es R. Por tanto, pi*(R2-d2)+pi*d2=pi*R2.Lo que hoy conocemos como principio de Cavalieri implica que el volumen de media esfera más el volumen del cono es igual al volumen del cilindro. Como el volumen de este cilindro es pi*r3 y el del cono pi*r3/3, entonces tenemos que el volumen de la esfera completa es 4/3*pi*r3,

Como corolario de estos resultados obtiene que la relación entre una esfera y el cilindro que la contiene es 2:3, tanto en superficie como en volumen.

“Sobre los conoides y esferoides” Arquímedes examina paraboloides de revolución, hiperboloides de revolución, y esferoides obtenidos al rotar una elipse, ya sea, alrededor de su eje mayor, o de su eje menor.  El principal propósito de la obra es investigar el volumen de segmentos de estas figuras tridimensionales.

“Sobre los cuerpos flotantes” en el cual estudia científicamente el equilibrio de los cuerpos sumergidos y enuncia el que conocemos hoy com principio de Arquímedes, y que ya explicamos ayer, la anecdota o leyenda, que dice que lo descubrio en el baño, el principio dice así “Sobre todo cuerpo sumergido en un líquido actúa una fuerza hacia arriba (empuje) cuyo valor es igual al peso del líquido que ha desalojado”

“La cuadratura de la parábola” demuestra que: “Una sección de parábola excede en un tercio al área del triángulo de igual base que la sección y cuyo vértice es el de la parábola”. Dicho de otra forma, la superficie de la sección de parábola es igual a cuatro tercios de la superficie del triángulo inscrito. A partir de este resultado la cuadratura es obvia.

“Ostomachion” En esta obra, cuyo tratado más completo que lo describe se encontró dentro del Palimpsesto de Arquímedes, Arquímedes presenta un rompecabezas de disección similar a un Tangram. Arquímedes calcula las áreas de 14 piezas que pueden ser ensambladas para formar un cuadrado. Una investigación publicada en 2003 por el Doctor Dr. Reviel Netz de la Universidad de Stanfordargumentaba que Arquímedes estaba intentando determinar en cuántas formas se podía ensamblar las piezas para formar un cuadrado. Según Netz, las piezas pueden formar un cuadrado de 17.152 maneras distintas. El número de disposiciones se reduce a 536 cuando se excluyen las soluciones que son equivalentes por rotación y reflexión. Este puzle representa un ejemplo temprano de un problema de combinatoria.

El origen del nombre del puzzle es incierto; se ha sugerido que puede haber surgido de la palabra griega para garganta, stómakhos(στόμαχος). Ausonio se refiere al puzzle como Ostomachion, una palabra griega compuesta por las raíces ὀστέον (osteon, ‘hueso’) y μάχη (machē, ‘lucha’). El puzzle es también conocido como el Loculus de Arquímedes o como la Caja de Arquímedes

“El contador de arena” En este tratado, Arquímedes cuenta el número de granos de arena que entrarían en el universo. Este libro menciona la teoría heliocéntrica del Sistema solar propuesta por Aristarco de Samos, e ideas contemporáneas acerca del tamaño de la Tierra y las distancias de varios cuerpos celestes. Usando un sistema de números basado en la capacidad de la miríada, Arquímedes concluye que el número de granos de arena que se requerirían para llenar el universo sería de 8×10⁶³, en notación moderna.

Para concluir con esta entrada, señalar dos curiosidades, como son “El método de teoremas mecánicos” carta dirigida a Eratósteles, y que se perdio en el olvido hasta el año 1907, cuando el matemático Heiberg, luego de copiar y examinar el escrito original junto con otros textos de Arquímedes que halló en la Biblioteca del Monasterio del Santo Sepulcro en Jerusalem, ubicada en Constantinopla, anuncia su descubrimento, este teorema consistía en Arquímedes emplea el cálculo infinitesimal, y muestra cómo el método de fraccionar una figura en un número infinito de partes infinitamente pequeñas puede ser usado para calcular su área o volumen. Arquímedes pudo haber considerado que este método carecía del suficiente rigor formal, por lo que utilizó también el método de exhausción para llegar a los resultados. Recordemos que el método de exhausción consiste en Este método consiste en considerar determinada magnitud de una figura, como el límite de las magnitudes correspondientes de figuras inscritas y circunscritas en ella, las cuales aproximan arbitrariamente la figura original.

Además Arquímedes como otros matemáticos planteo varios problemas matemáticos entre ellos el más famoso es el de “El problema del ganado de Arquímedes” que dice así “Si eres diligente y sabio, oh, extranjero, calcula el número de cabezas de ganado del Sol” tras varios estudios, de cuantas reses podía tener el dios Sol,  esta versión del problema fue resuelta por primera vez por A. Amthor en 1880 y la respuesta es un número muy grande, aproximadamente 7,760271×10²⁰⁶⁵⁴⁴.

Hasta aquí, la vida de los grandes matemáticos de la edad antigua, que influyeron en el renacimiento italiano, y en concreto en Galileo Galilei