Introducción
La aritmética en coma flotante ha sido objeto de polémicas y múltiples formas de implementarla (quizás más adelante escriba una entrada sobre los métodos más extendidos) pero fue en 1985 cuando el IEEE [1] terminó y publicó un documento donde estandarizaba la forma de representar los números en punto flotante y cómo realizar las operaciones aritméticas. Esta norma se conoce como IEEE 754, y ha sido un fuerte dolor de cabeza para más de un estudiante de Informática en su primer año.
A día de hoy se considera el estándar de facto en todos los ordenadores personales. Pero, ¿cómo funciona exactamente?
Representación
Simplificando a dos modalidades la norma define dos resoluciones posibles para los números. Véase la figura 1. Simple precisión (32 bits) y doble precisión (64 bits).
Figura 1: Formato de representación para el estándar IEEE 754 (en simple y doble precisión). Imagen gracias a IBM.
Matemáticamente, ¿cómo funciona este sistema de representación? Dado un número real “x” será representado como su signo, multiplicado por el valor de su mantisa (número normalizado tipo notación científica) y multiplicado además por la base de representación elavada al valor del exponente sesgado.
(1)
(2)
Hablando en términos de representación numérica en computadores y tomando como ejemplo el caso de simple precisión donde se reserva un bit para el signo, 8 bits para el exponente y 23 bits para la matisa tenemos:
- Bit de signo: 0 positivo / 1 negativo
- El exponente se representa sesgado al valor dado por la formula (2). En el caso de simple presición sería: exps = 2^(8-1)-1=2^7-1=127.
- La mantisa en binario es un número del tipo 1.xxxxx donde el primer 1 no fraccionario se asume y no se representa dentro del formato.
Curiosidades
Número más grande representable:
Número más pequeño representable (positivo y no cero):
Tendiendo a cero hay una serie de números reales no representables:
Referencias
- Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos (IEEE o IE3): http://www.ieee.org/index.html
- Grupo del IEEE sobre la norma 754: http://grouper.ieee.org/groups/754/
- Lecture Notes on the Status of IEEE Standard 754 for Binary Floating-Point Arithmetic: http://www.eecs.berkeley.edu/~wkahan/ieee754status/IEEE754.PDF
- Conversor entre decimal <–> IEEE754: http://www.h-schmidt.net/FloatConverter/
- Conversor entre decimal <–> IEEE754: http://users.minet.uni-jena.de/~sack/SS04/download/IEEE-754.html
- http://es.wikipedia.org/wiki/Intel_8087
- An Interview with the Old Man of Floating-Point; http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/ieee754status/754story.html
- Transparencias muy ilustrativas: http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/gilberto/paralela/09_AritmeticaPuntoFlotante.pdf
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