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Hoy hemos tenido nuestra tercera clase de lógica, hemos estudiado la lógica de predicados, la definición, la relación con la lógica de proposiciones, los componentes de sentencias predicativas y las reglas gramaticales para construir fbf. Del mismo modo hemos realizado ejercicios en clase para entender de una manera más clara la conceptualización de la temática, la cual con el paso de las semanas ha aumentado su complejidad.
Veamos un desarrollo de la temática.
LENGUAJE PREDICATIVO
El lenguaje de predicados de primer orden se caracteriza por extender la lógica proposicional. Destaca tanto por los elementos de las sentencias que forman parte de los argumentos como por la estructura de éstos, en donde lo más importante son los individuos que intervienen y los predicados que les afectan.
Antes de entrar en profundidad, veamos un ejemplo que hicimos en clase, el cual nos muestra que el lenguaje de predicados es muy importante, puesto que amplía nuestras posibilidades de formalizacion de sentencias.
P1: Todos los hombre son mortales
P2: Sócrates es mortal
Q: Sócrates es un hombre
En este caso en concreto, el argumento es correcto, pero no hay forma de hallar relación entre las premisas y la conclusión, mientras que en el lenguaje de predicados, es muy acertivo formalizar el anterior argumento.
Marco Conceptual:
H(x) x es hombre
M(x) x es mortal
s : Sócrates
P1: ∀x[H(x) → M(x)]
P2: M(s)
Q: H(s)
El lenguaje de predicados utiliza:
TERMINOS:
Utiliza Constantes y variables y se supone definido un dominio no vacío en el cual toman valores. Pueden ser:
Constantes (a, b, c,): Designan nombre a objetos concretos del dominio
Variables (x, y, z): Representan objetos cualesquiera del Universo u objetos desconocidos en ese momento.
PREDICADOS:
Se utilizan para expresar propiedades o relaciones entre los objetos. Pueden ser:
Monádicos: Expresan propiedades de los objetos
Ejemplo:
Mo(x): x es moreno
Constantes: juan
Juan es Moreno = Mo (juan)
Poliádicos: Expresan relaciones entre los objetos
Ejemplo:
Ti(x, y): x tiene y
Constantes: marco, moto
Marco tiene un coche = Ti (marco, coche)
Es importante tener en cuenta el orden de los argumentos, y que la aridad del mismo es fija.
CUANTIFICADORES:
Universal (∀)): Todos los elementos del dominio cumplen una determinada propiedad o relación.
Ejemplo: Todos los gatos son negros
ga(x): x es un gato
Ne(x): x es negro
∀x [ga(x)→ne(x)]
Existencial (∃): Algún elemento del dominio cumple una determinada propiedad o relación.
Ejemplo: Algunos gatos son negros
∃x [ga(x) ^ ne(x)]
Cuando formalizamos en el lenguaje predicativo siempre debemos preguntarnos cual es el dominio o el universo del discurso, es decir, cual es el conjunto de objetos con el que estamos trabajando, puesto que este será nuestro marco de referencia de nuestro lenguaje en un momento dado.
El dominio condiciona la formalizacion, y podemos verlo en el siguiente ejemplo:
Todos los Alumos son guapos. Dominio{Universo}
Al(x): x es alumno
G(x): x es guapo
∀x [Al(x)→G(x)]
Si nuestro dominio fuese alumnos, la formalización de nuestra sentencia sería diferente.
Todos los Alumos son guapos. Dominio{Alumnos}
G(x): x es alumno y cumple la propiedad “guapo”
∀x G(x)
Así como en el lenguaje proposicional, en el predicativo también existen unas reglas gramaticales, para la construcción correcta de formulas predicativas.
Fórmula predicativa bien formada (fbf):
1.- Cualquier fbf proposicional es una fbf.
2.- Si P es un predicado, entonces P (t1, t2,…tn) es una fbf, siendo ti términos.
3.- Si F es una fbf que tiene la variable xi libre, entonces:
– ∀ Xi F(X1, X2,…Xi,…Xn).
– ∃ Xi F(X1, X2,…Xi,…Xn) son fbf.
La variable xi es ligada y las xk, k¹i, libres.
4.- Sólo son fbf las obtenidas por 1, 2 y 3.
Algunos términos importantes en la cuantificación de predicados son:
Índice cuantificacional: variable adosada al cuantificador.
Prefijo cuantificacional: cuantificador e índice cuantificacional.
Matriz cuantificacional: parte de fbf afectada por el índice cuantificacional.
Alcance del cuantificador: parte de fbf donde ejerce su cuantificación.
Variable libre: no está afectada por ningún cuantificador.
Variable ligada: afectada por algún cuantificador.
Para finalizar, veamos otros ejemplos que realizamos en clase.
Marco Conceptual
Dominio{Animales}
De(x): x es delfin
Fo(x): x es foca
J(x): x es juegueton
V(x,y): x vive con y
Constantes: fli, flo, flu
Fli, Flo y Flu son Delfines
De(fli) ∧ De(flo) ∧ De(flu)
Los Delfines son juguetones
∀x [De(x) → J(x)]
Algunos Delfines son juguetones
∃x [De(x) ∧ J(x)]
Los Delfines no son juguetones
∀x [De(x) → ¬J(x)] = ∀x [¬De(x) v ¬J(x)] = ∀x ¬[De(x) ∧ J(x)] = ¬∃x [De(x) ∧ J(x)]
No todos los Delfines son juguetones
¬∀x [De(x) → J(x)] = ∃x [De(x) ∧ ¬J(x)]
