En nuestra penúltima clase de lógica hemos estudiado las reglas básicas de cuantificación universal, además de hacer ejercicios para poner en practica las restricciones existentes en la introduccion del universal y la eliminacion del existencial. Para el caso del universal y del existencial, una regla es fácil y la otra es dificil.
Desde el principio de la asignatura, el hecho de trabajar con cuantificadores para lenguaje predicativo añade un poco de dificultad en la realización de ejercicios. Estas reglas de inferencia básicas de cuantificadores nos permiten eliminar dichos cuantificadores y trabajar con ellos como si se tratara del lenguaje proposicional y también nos permiten introducir los cuantificadores para obtener deducciones que requieran lenguaje predicativo.
Es importante tener en cuenta que siempre que se quiera conseguir una conclusión cuantificada, primero debemos tratar de conseguir la fórmula en lenguaje proposicional para luego introducir el cuantificador.
Las Reglas de Cuantificación del Universal “∀”
Eliminacion del Universal (EU)
Significado: Si todos los elementos del universo verifican un propiedad P, cualquiera de ellos, por ejemplo a, también la verifica.
Ejemplo:
– 1 ∀x[P(x) → Q(x)]
– 2 P(a) ⇒ Q(a)
3 P(a) → Q(a) EU 1
4 Q(a) MP 2,3
Introducción del Universal (IU) con restricciones
Significado: Si un individuo (a) verifica una propiedad P, entonces podemos afirmar que todos los x del universo la verifican si (a) es un individuo cualquiera, es decir (a) debe estar libre de toda condición anterior.
Restricción: Es lícito pasar de P(a) a ∀x P(x), siempre que (a) no figure en ningún supuesto provisiona previo sin cancelar, del que dependa P(a) o en una premisa.
Ejemplo: Veamos el ejemplo que hicimos en clase, cuyo enunciado es:
“O todos los alumnos son guapos o todos son feos, luego todos son guapos o feos”
– 1 ∀x Gx v ∀x F(x) ⇒ ∀x [Gx v F(x)]
l¯2 ∀x Gx
l 3 G(a) EU 2
l_4 G(a) v F(a) ID 3
l¯5 ∀x F(x)
l 6 F(a) EU 5
l_7 G(a) v F(a) ID 6
8 G(a) v F(a) Cas 1,2-4,5-7
9 ∀x [Gx v F(x)]
Otra manera de hacerlo es:
– 1 ∀x Gx v ∀x F(x) ⇒ ∀x [Gx v F(x)]
l¯2 ∀x Gx
l 3 G(a) EU 2
l 4 G(a) v F(a) ID 3
L 5 ∀x [Gx v F(x)] IU 4
l¯6 ∀x F(x)
l 7 F(a) EU 6
l 8 G(a) v F(a) ID 7
L9 ∀x [Gx v F(x)] IU 8
10 ∀x [Gx v F(x)] Cas 1,2-5,6-9
En este caso si podemos introducir el universal, poque partimos de ∀x Gx/∀x Fx para los casos, y no de un elemento en particular
Las Reglas de Cuantificación del Existencial “∃”
Introducción del Exitencial (IE)
Significado: Si un individo verfica una propiedad P, desde luego que existe uno por lo menos que verifica dicha propiedad.
Ejemplo:
– 1 ∀x [Px → Q(x)]
– 2 P(a) ⇒ ∃x Q(x)
3 P(a) → Q(a) EU 1
4 Q(a) MP 2,3
5 ∃x Q(x) IE 4
En este último ejemplo no podríamos introducir el universal, porque en las premisas se encuentra P(a), por lo tanto, no es individuo cualquiera.
Eliminación del Existencial (EE) con restricciones
Significado: Si un sujeto verifica una determinada propiedad entonces aún sin saber cual es exactamente ese sujeto, se puede pasar a las consecuencias que se siguen del supuesto de su identificación, es decir del supuesto de que de que un sujeto , supuestamente imaginado, posea dicha propiedad.
Restricción:
1. El individuo elegido no puede ser cualquiera, sino uno tal que posea la propiedad en cuestión, y que ese sujeto no haya sido mencionado en otro supuesto sin cancelar o premisa, es decir, si (a) es ejemplo de P, no puede ser ejemplo de otro tipo de condición.
2. Para que la conclusión pueda ser aceptada, el individuo no debe aparecer en ella.
Ejemplo: Veamos el ejemplo que hicimos en clase, cuyo enunciado es:
-1 ∃x P(x) ∧ ∃x Q(x) ⇒ ∃x [P(x) ∧ Q(x)]
-2 ∃x P(x) EC 1
-3 ∃x Q(x) EC 1
l¯4 P(a)
l l¯5 Q(b)
Este caso, vemos que no se puede obtener P(a) ∧ Q(a), puesto que al abrir dos supuestos es necesario que sean individuos diferentes, como maximo podríamos obtener P(a) ∧ Q(b), e introducir el existencial.
Por tanto este argumento es incorrecto y no se puede demostrar.
-1 ∃x[P(x) → Q(x)]
-2 ∀x P(x) ⇒ ∃x Q(x)
3 P(a) EU 2
l¯4 P(a) → Q(a)
l 5 Q(a) MP 3,4
L 6 ∃x Q(x) IE 5
7 ∃x Q(x) EE 1,4-6
Al finalizar la clase, Carlos dejó el planteamiento del siguiente argumento, para formalizar y demostrar en el lenguaje proposicional!!!!!!!
P1: Uso el coche solo si tengo gasolina
P2: No consumo Gasoil a menos que la gasolina sea cara o use el coche
P3: La gasolina no es cara
P4: Uso gasoil a menos que no tenga dinero
Q: Luego, solo si tengo dinero no tengo gasolina
Formalización
* Uso el Coche: co
* Tengo Gasolina: ga
* Consumo Gasoil: go
* La gasolina es cara: ca
* Tengo dinero: di
P1: co → ga
P2: go → ca v co
P3: ¬ca
P4: ¬go → ¬di
Q: ¬ga → ¬di
– 1 co → ga
– 2 go → ca v co
– 3 ¬ca
– 4: ¬go → ¬di ⇒ ¬ga → ¬di
l¯5 ¬ga
l 6 ¬co MT 1,5
l 7 ¬ca ∧ ¬ co IC 3,6
l 8 ¬go MT 2,7
L9 ¬di MP 4,8
10 ¬ga → ¬di TD 4-9
Este último argumento ha sido deducido mediante Prueba Directa , la cual se sugiere aplicar en casos en que la conclusión tenga forma de implicación, partiendo del supuesto del antecedente de la fórmula, como al final del supuesto hemos llegado al consecuente de la implicación, mediante el Teorema de Deduccion el argumento queda resuelto como correcto.
Para mi opinión el tema de Deducción Natural ha sido bastante interesante, la complejidad considero que depende del tipo de argumento que se desea deducir, y al mismo tiempo pienso este bloque tiene menor grado de complicación que el Bloque III de semántica, de hecho me ha parecido mas interesante.
Bueno…….
Esto ha sido todo por hoy!!!
