Invenció del telescopi
Al maig de 1609, Galileu rep de París una carta del francès Jacques Badovere, un dels seus antics alumnes, qui li confirma un rumor insistent: l’existència d’un telescopi que permet veure els objectes llunyans. Fabricat a Holanda, aquest telescopi hauria permès ja veure estels invisibles a simple vista. Amb aquesta única descripció, Galileu, que ja no dóna cursos a Cosme II de Médicis, construeix el seu primer telescopi. Al contrari que el telescopi holandès, aquest no deforma els objectes i els augmenta 6 vegades, o sigui el doble que el seu oponent. També és l’únic de l’època que aconsegueix obtenir una imatge dreta gràcies a la utilització d’una lent divergent en l’ocular. Aquest invent marca un gir en la vida de Galileu.
El 21 d’agost, amb prou feines acabat el seu segon telescopi (augmenta vuit o nou vegades), ho presenta al Senat de Venècia. La demostració té lloc en el cim del Campanile de la plaça de Sant Marco. Els espectadors queden entusiasmats: davant els seus ulls, Murano, situat a 2 km i mitjà, sembla estar a 300 m solament.
Galileu ofereix el seu instrument i llega els drets a la República de Venècia, molt interessada per les aplicacions militars de l’objecte. En recompensa, és confirmat per a tota la vida en el seu lloc de Pàdua i els seus emulgents es dupliquen. S’allibera per fi de les dificultats financeres.
No obstant això, contrari a les seves al·legacions, no dominava la teoria òptica i els instruments fabricats per ell són de qualitat molt variable. Alguns telescopis són pràcticament inutilitzables (almenys en observació astronòmica). A l’abril de 1610, a Bolonya, per exemple, la demostració del telescopi és desastrosa, com així ho informa Martin Horky en una carta a Kepler.
Galileu va reconèixer al març de 1610 que, entre més de 60 telescopis que havia construït, solament alguns eren adequats. Nombrosos testimoniatges, inclòs el de Kepler, confirmen la mediocritat dels primers instruments.
El 10 de juliol de 1610, Galileu deixa Venècia per traslladar-se a Florència.
Malgrat els consells dels seus amics Sarpi i Sagredo, que temen que la seva llibertat sigui restringida, ell ha, en efecte, acceptat el lloc de Primer Matemàtic de la Universitat de Pisa (sense càrrega de cursos, ni obligació de residència) i aquell de Primer Matemàtic i Primer Filòsof del gran duc de Toscana.
El 25 de juliol de 1610, Galileu orienta el seu telescopi cap a Saturn i descobreix la seva estranya aparença. Seran necessaris 50 anys i instruments més poderosos perquè Christiaan Huygens comprengui la naturalesa dels anells de Saturn.
El mes següent, Galileu troba una manera d’observar el Sol en el telescopi i descobreix les taques solars. Els dóna una explicació satisfactòria.
Al setembre de 1610, prosseguint amb les seves observacions, descobreix les fases de Venus. Per a ell, és una nova prova de la veritat del sistema copernicà, doncs és fàcil d’interpretar aquest fenomen gràcies a la hipòtesi heliocèntrica, ja que és molt més difícil de fer-ho basant-se en la hipòtesi geocèntrica.
Va ser convidat el 29 de març de 1611 pel cardenal Maffeo Barberini (futur Urbà VIII) a presentar els seus descobriments al Col·legi pontifical de Roma i en la jove Acadèmia dels Linxs. Galileu romandrà dins de la capital pontifical un mes complet, durant el qual rep tots els honors. L’Acadèmia dels Linxs li reserva una rebuda entusiasta i li admet com el seu sisè membre. Des d’aquest moment, el linx de l’acadèmia adornarà el frontispici de totes les publicacions de Galileu.
El 24 d’abril de 1611, el Col·legi Romano, compost de jesuïtes dels quals Christopher Clavius és el membre més eminent, confirma al cardenal Belarmino que les observacions de Galileu són exactes. No obstant això, els savis es guarden bé de confirmar o de denegar les conclusions fetes pel florentí.
Galileu retorna a Florència el 4 de juny