Category: Bloque II Semántica

La temática del día de hoy ha sido la continuación de la clase anterior, hemos visto los métodos mecánicos que sirven para demostrar si una fbf es tautología, contradicción o contingencia.

Estos métodos son el Método del Cuadro y Davis-Putnam, me parecen métodos completos porque hasta ahora las tablas de verdad tenían el problema que se complicaban a medida que el número de variables aumentaba, y el método del contraejemplo en el caso de no ser tautología no brindaba información de contradicción o contingencia.
A pesar de que esos dos métodos son completos, al principio no me han gustado mucho, la verdad no son muy dificiles, pero al ver la lista de pasos que hay que seguir uno tiene mala recepción a el, pero al igual como he dicho en temas anteriores, con ejercicios de práctica se mejora y memorizan los pasos a aplicar.

Para poder aplicar el método del cuadro es necesario tener la fórmula en su forma normal disyuntiva.
Los pasos para aplicar este método son:

1 Si en todas las conjunciones elementales aparece un literal afirmado y negado: CONTRADICCIÓN.

2 Si hay conjunciones elementales de un solo literal se le asigna el valor F y se reduce la fbf.

3 Si no paso 2, se elige conjunción y obtenemos dos FND:
C v B= (lit ∧ D) v B = (lit v B) ∧ (D v B) y se hace nuevamente el paso 2.

4 Se repiten 2 y 3 hasta obtener una conjunción elemental:
Si disyunción de literal y complementario: fbf TAUTOLOGÍA
Sino: fbf CONTINGENTE

Veamos el siguiente ejemplo visto en clase:

(p → q) v ¬r
FND: ¬p v q v ¬r

1) No es contradicción
2) ¬p = F = F V q V ¬r = q V ¬r
q= F = f v ¬r
¬r = F ó V, entonces CONTINTENGIA

El siguiente ejemplo también lo vimos en clase y es del libro Lógica de Primer Orden:
FND: p v (¬p ∧ q ∧ r) v (¬p ∧ ¬q ∧ r) v (¬p ∧ ¬r) v (p ∧ r)

1) No es contradicción
2) p = F = F v (V ∧ q ∧ r) v (V ∧ ¬q ∧ r) v (V ∧ ¬r) v (F ∧ r)
F v (q ∧ r) v (¬q ∧ r) v ¬r v F
(q ∧ r) v (¬q ∧ r) v ¬r

¬r = F = (q ∧ V) v (¬q ∧ V) v F
(q ∧ V) v (¬q ∧ V) v F
q v ¬q v F
q v ¬q, entonces TAUTOLOGIA

FND: (p ∧ ¬q ∧ r) v (¬p ∧ q) v (¬q ∧ ¬r)
1) No es Contradicción
2) Descomponer;
C = (¬p ∧ q)
B = (¬q ∧ ¬r) v (p ∧ ¬q ∧ r)

C v B = (¬p ∧ q) v (p ∧ ¬q ∧ r) v ¬q ∧ ¬r
lit v B = ¬p v (p ∧ ¬q ∧ r) v (¬q ∧ ¬r)
D v B = q v (p ∧ ¬q ∧ r) v (¬q ∧ ¬r)
Para que fuera tautología deberían serlo los dos.

Para poder aplicar el método del cuadro es necesario tener la fórmula en su forma normal conjuntiva.
Los pasos para aplicar este método son:

1 Si en todas las disyunciones elementales aparece un literal afirmado y negado: TAUTOLOGÍA.

2 Si hay disyunciones elementales de un solo literal se le asigna el valor V y se reduce la fbf.

3 Si un literal aparece sólo en un estado se le asigna el valor V y se reduce la fbf.

4 Sino, elegir literal (l) que desaparece de la fbf. Hacer:
B: disyunciones que contienen l;
C: disyunciones que contienen ¬l;
D: resto
Obtener FNC sin l: [∧ (b v c) ] ∧ D. y vuelve a realizarse el paso 2.
Si conjunción de literal y complementario: fbf CONTRADICCIÓN
Sino: fbf CONTINGENTE

Ejemplo:

¬p ∧ (p v q v r) ∧ (¬q v r v ¬s) ∧ (¬q v ¬r)

En la clase del día de hoy hemos empezado el desarrollo del Bloque II, Interpretando fórmulas lógicas y validando argumentos.
El hecho de haber trabajado desde el bloque I con tablas de verdad, a mi personalmente, me ha hecho sentirme un poco familiarizada con la temática, teniendo en cuenta que la interpretación lógica de una fbf no es más que una posible asignación de valores de verdad (Verdadero/Falso) a las fórmulas atómicas que conforman dicha fbf.

Recordemos que Un Argumento es correcto: Si no se da el caso de que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa.

Veamos ahora los términos nuevos que hemos utilizado en esta temática, con su respectiva definición.

Interpretación Modelo: Interpretación que hace cierta fórmula. Ej: I = { p = v; q = v }
Interpretación Contramodelo: Interpretación que hace falsa fórmula. Ej: I = { p = f; q = f }

El Número de Interpretaciones de una fórmula depende, tanto si esta se encuentra en lenguaje proposicional o predicativo.

p → ¬p tiene 2^1= 2 Interpretaciones posibles, las cuales son
I ={p =v, p = f}.

∀x ∃y P(x,y) ∧ ∀x Q(x) D={a,b,c}
∀x ∃y P(x,y) = 2^(3^2) = 2^9 = 512 Interpretaciones
Q(x)=2^(3^1) = 2^3 = 8 Interpretaciones
En total de interpretaciones de la fórmula es: 512 x 8 = 4096 Interpretaciones.

¿Como Interpretar Argumentos predicativos?

“Todos los planetas se limpian una vez al año”
“La Tierra es un planeta”
Luego, la tierra se limpia una vez al año.

∀x [Pl(x) → Li(x)]
Pl(tierra) => Li(tierra)

D={Universo} Tendríamos que estudiar infinitas interpretaciones.
D={La Vía Lactea}

Si por ejemplo hay 8 planetas tendríamos 2^8 x 2^8, y solo deberíamos estudiar un caso.

Veamos ahora términos de la validación de argumentos:

Tautología: fbf del cálculo de proposiciones que es verdadera para toda interpretación, es decir, cuando toda atribución veritativa la satisface.
Ejemplo:
p v ¬ p
¬p → ¬p
p → p
p <-> p

Contradicción: fbf del cálculo de proposiciones que no es verdadera bajo ninguna interpretación, es decir, cuando ninguna atribución veritativa la satisface.
p ∧ ¬p
p <-> ¬p
p → ¬ p

Contingencia: fbf del cálculo de proposiciones que no es ni tautología ni contradicción, es decir, cuando existe al menos una atribución veritativa que la satisface y otra que no lo hace.
p v q
p ∧ q
p → q

Una fbf es satisfacible si existe alguna interpretación que la haga V.