Tema 5 (Ampliación de Física): Dinámica plana del sólido rígido

En este tema y en siguiente se estudiará la dinámica del sólido rígido, esto es, las relaciones existentes entre las fuerzas que actúan sobre el sólido rígido, la forma y la masa del cuerpo, y el movimiento que se produce. En “Fundamentos Físicos de la Ingeniería I” ya se estudiaron relaciones similares para una partícula, un sistema de partículas y un sólido rígido que rota alrededor de un eje fijo que pasa por su centro de masa G. Los resultados que se obtendrán en este tema se limitarán en dos formas:

  • Movimiento plano del sólido rígido, esto es, el movimiento en el que cada partícula del cuerpo permanece a una distancia constante de un plano de referencia fijo.
  • Salvo que se señale lo contrario, se considerarán sólidos rígidos que son simétricos respecto al plano de referencia, esto es, tienen un eje de inercia principal perpendicular al plano de referencia.

En el caso del movimiento plano en el plano xy, tanto la velocidad angular ω, como la aceleración angular α y el momento angular o cinético L son perpendiculares al plano xy, es decir, tienen la dirección del eje z.

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Tema 6. Campo eléctrico

Este tema está dedicado a la Electrostática, es decir, al estudio del campo y el potencial eléctricos originados por cargas eléctricas o distribuciones continuas de cargas en reposo. El tema comienza con el análisis de la electricidad con una breve discusión sobre el concepto de carga eléctrica y la naturaleza eléctrica de la materia, incidiendo especialmente en la conservación y cuantización de la carga, para pasar a la presentación de la ley de Coulomb, ley experimental que describe la fuerza entre dos carga eléctricas fijas puntuales. Posteriormente se introduce el concepto de campo eléctrico y se ve cómo puede describirse mediante líneas de campo o líneas de fuerza que tiene su origen en las cargas positivas y terminan en las cargas negativas, siendo el vector campo eléctrico tangente en cada punto a estas líneas de fuerza y su intensidad viene indicada por la densidad de las líneas de fuerza. El principio de superposición se deduce de la observación de que cada carga produce su propio campo eléctrico, independientemente de todas las otras cargas presentes a su alrededor, y que el campo resultante es la suma vectorial de los campos individuales. Aunque la carga está cuantizada, con frecuencia se presentan situaciones en las que un gran número de cargas están tan próximas que la carga total puede considerarse distribuida continuamente en el espacio, siendo necesario utilizar una densidad de carga para describir una distribución de un gran número de cargas discretas. Se introducen las densidades volumétrica, superficial y lineal de carga. En este contexto se muestran algunos ejemplos de cómo se calcula el campo eléctrico debido a diversos tipos de distribuciones continuas de carga (segmento rectilíneo, anillo y disco). Posteriormente se analiza el movimiento de cargas puntuales en campos eléctricos, en particular en campos uniformes, considerando las situaciones en las que la carga incide con una velocidad tanto paralela como perpendicular a la dirección del campo.

La fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales está dirigida a lo largo de la línea que une las dos cargas y depende de la inversa del cuadrado de su separación, lo mismo que la fuerza gravitatoria entre dos masas. Como la fuerza gravitatoria la fuerza eléctrica entre cargas en reposo es conservativa y existe una función energía potencial asociada con la fuerza eléctrica, siendo la energía potencial proporcional a la carga. Se comprueba como la circulación del campo electrostático creado por una carga puntual a lo largo de una trayectoria cerrada es nula, lo que implica que el campo es conservativo. La energía potencial por unidad de carga se denomina potencial eléctrico, y a kontinuación se obtiene el potencial debido tanto a una carga puntual como a diversas distribuciones continuas de carga. Conviene destacar que sólo es posible determinar diferencias entre los potenciales en dos puntos diferentes. No se puede hablar, por tanto, de potencial absoluto en un punto del espacio, sino sólo de diferencia de potencial entre dos puntos. Si deseamos hablar de potencial eléctrico en un punto dado tenemos que tomar arbitrariamente, como valor de referencia, el potencial en un punto determinado. Normalmente es conveniente elegir como origen el potencial del infinito, pero es importante señalar que esto no siempre es posible, basta citar como ejemplos los casos de la línea infinita cargada o del plano cargado. A partir de la relación del campo eléctrico y el potencial se indica como se puede calcular uno de ellos si se conoce el otro. Conocido el campo eléctrico puede calcularse el potencial calculando la circulación del campo, es decir, mediante una integral. Sin embargo, si el potencial eléctrico es el dato puede determinarse el campo eléctrico mediante el gradiente, es decir, derivando. Asimismo se introducen las superficies equipotenciales como aquellas superficies que tienen el mismo potencial en todos sus puntos. Por ejemplo, las superficies equipotenciales alrededor de una carga puntual son superficies esféricas concéntricas estando la carga situada en el centro de las mismas. Se comprueba como en cada punto de una superficie equipotencial el campo eléctrico es perpendicular a la superficie, esto es, las líneas del campo eléctrico son perpendiculares a las superficies equipotenciales. A continuación se introduce el concepto de flujo del campo eléctrico y se discute la ley de Gauss que relaciona el campo eléctrico que existe en los puntos de una superficie cerrada con la carga neta encerrada dentro de la misma. La ley de Gauss se deduce de la ley de Coulomb y es una de las cuatro ecuaciones de Maxwell del Electromagnetismo. Esta ley proporciona un método práctico para el cálculo del campo eléctrico correspondiente a distribuciones de carga sencillas que posean una cierta simetría (esferas, cilindros, líneas, planos, etc.), haciendo uso del concepto de superficie gaussiana.

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Tema 4 (Ampliación de Física). Estática del sólido rígido

La estática es la parte de la mecánica que se ocupa de los cuerpos sometidos a fuerzas equilibradas, es decir, cuerpos que están en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme. La estática del sólido rígido constituye una parte importante de la mecánica del sólido rígido porque proporciona métodos para la determinación de las reacciones en los enlaces, y de las relaciones entre las distribuciones de fuerzas interiores y las cargas exteriores en las estructuras estacionarias. Muchos problemas prácticos de ingeniería que comportan cargas soportadas por componentes estructurales se pueden resolver utilizando las relaciones que se desarrollan en estática.

Cuando se aplican en estática del sólido rígido las condiciones de equilibrio, se supone que el cuerpo permanece rígido. Sin embargo, todos los cuerpos se deforman cuando están sometidos a cargas. Esto último se estudiará en la asignatura “Resistencia de Materiales”, mientras que nosotros supondremos que el cuerpo permanecerá rígido y no se deformará.

En este tema se desarrollarán las ecuaciones de equilibrio para un sólido rígido, se presentará el concepto de diagrama de sólido libre y se mostrará cómo resolver problemas de equilibrio de sólidos rígidos.

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Tema 5. Termodinámica

En este tema se analizan conceptos fundamentales de esta rama de la Física como son los sistemas termodinámicos, variables y funciones de estado, tipos de transformaciones, etc., y se formulan el primer y segundo principios de la Termodinámica.

Además de calor, puede haber una transferencia de energía entre un sistema y su entorno mediante el trabajo, que no es otra cosa que la energía transferida entre un sistema y su entorno por métodos que no dependen de la diferencia de temperatura. Aunque la energía puede transferirse en forma de trabajo mediante distintos tipos de fuerzas (eléctricas, magnéticas, etc.), en este tema se tratará el trabajo mecánico realizado por las fuerzas que ejerce un sistema sobre su entorno y viceversa, considerando el caso particular del trabajo realizado por la fuerza de presión de un fluido al desplazar un émbolo.

Tras hacer una mención a las funciones y ecuaciones de estado se introduce el primer principio de la Termodinámica que señala que en todo proceso en que se cede calor al sistema y éste realiza un trabajo, la energía total transferida a dicho sistema es igual al cambio en su energía interna. Así pues, la variación de energía interna se introduce a partir del primer principio, y se relaciona con los conceptos de calor y trabajo. El primer principio no es sino una forma más de enunciar el principio de conservación de la energía y refleja los resultados de muchos experimentos que relacionan el trabajo realizado por o sobre un sistema, el calor que se ha añadido o substraído, y la propia energía interna del mismo. Un aspecto importante que hay que resaltar es el cálculo del trabajo y los diagramas pV para un gas, calculándose el trabajo para procesos cuasiestáticos isócoros, isóbaros e isotermos en el caso de un gas ideal.

A continuación se estudian las capacidades caloríficas y los calores específicos de los gases, tanto a volumen constante como a presión constante, y la relación de Mayer entre ambas, así como el proceso adiabático de un gas ideal.

Seguidamente se estudian las máquinas térmicas y el enunciado del segundo principio de la Termodinámica, así como el rendimiento de las máquinas térmicas y frigoríficas, para pasar seguidamente al estudio del ciclo de Carnot. Tanto desde una perspectiva práctica como teórica, el ciclo de Carnot tiene gran importancia, pues una máquina térmica que opere con este ciclo ideal reversible establece un límite superior para los rendimientos de todas las máquinas.

Finalmente se introduce el concepto de temperatura termodinámica así como el de entropía y se calculan variaciones de entropía en distintos procesos termodinámicos. El tema concluye con el estudio de la relación entre entropía, irreversibilidad y segundo principio de la Termodinámica, indicando que la entropía del Universo aumenta en todos los procesos reales.

Bibliografía

Young, H. D. y Freedman, R. A., Física Universitaria (Sears-Zemansky), Vol. I (Addison-Wesley, México, 2009). Cap. 18.

Beléndez, A., Acústica, fluidos y termodinámica (1992).

Tipler, P. A. y Mosca, G., Física para la Ciencia y la Tecnología, Vol. I (Reverté, Barcelona, 2005). Caps. 17 y 18.

Gettys, W. E., Keller, F. J. y Skove, M. J., Física Clásica y Moderna (McGraw-Hill, Madrid, 1991). Caps. 16.

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Tema 3 (Ampliación de Física): Geometría de masas

En muchos problemas relacionados con la estática y la dinámica del sólido rígido aparecen unas magnitudes denominadas centros de gravedad y momentos de inercia que están relacionadas con la forma en la que está la masa distribuida geométricamente en el espacio. Por esta razón, estas magnitudes se engloban en lo que se denomina geometría de masas.

Si consideramos el movimiento plano de un sólido rígido, éste tiene un tamaño y una forma definidos, por lo que un sistema de fuerzas no concurrentes puede hacer que el cuerpo se traslade y rote.

La traslación está regida por la segunda ley de Newton F = ma. Los aspectos de rotación provocados por un momento M están regidos por una ecuación de la forma M = Iα en la que α es la aceleración angular, mientras que I es el momento de inercia de masa. Por comparación, el momento de inercia mide la resistencia del cuerpo a la aceleración angular (M = Iα) del mismo modo que la masa mide la resistencia de un cuerpo a la aceleración (F = ma).

En este tema se verán los métodos utilizados para determinar la posición del centro de gravedad así como el momento de inercia de un cuerpo.

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Tema 4. Calor y temperatura

La Termodinámica es la parte de la Física que se dedica al estudio de las transformaciones de energía donde intervienen calor, trabajo mecánico y otros aspectos de la energía, así como la relación que existe entre transformaciones y las propiedades de la materia. El tema comienza introduciendo el concepto de temperatura y de equilibrio térmico, junto con el principio cero de la Termodinámica, los termómetros y las escalas de temperatura, así como el termómetro de gas a volumen constante. El calor es la energía transferida entre un sistema y su entorno (o alrededores), debida únicamente a una diferencia de temperatura entre dicho sistema y alguna parte de su entorno. Así pues, siempre que en un sistema existe una diferencia de temperaturas se produce un flujo de calor desde la región más caliente a la más fría, hasta que las temperaturas se igualan.

Después de estudiar la dilatación térmica se presenta la ecuación de los gases ideales y se realizan algunos problemas sobre gases. El gas ideal es un modelo idealizado que funciona mejor a presiones muy bajas y altas temperaturas, cuando las moléculas del gas están muy separadas y en rápido movimiento.

Seguidamente se estudia la capacidad calorífica y el calor específico. La capacidad calorífica de una sustancia que se define como la energía térmica que se necesita para aumentar un grado la temperatura de la sustancia.

En el estudio de los cambios de fase se introduce el concepto de calor latente de fusión y de vaporización. Una cuestión importante que hay que puntualizar es que la temperatura permanece constante durante un cambio de fase, como la fusión del hielo o la ebullición del agua.

Finalmente se analizan los fenómenos de transmisión del calor sobre todo por conducción, por su interés en ingeniería. Es evidente que este fenómeno es de gran interés en la construcción a la hora de plantear, por ejemplo, el aislamiento térmico de las viviendas. Es costumbre clasificar los distintos procesos de transmisión del calor en tres modos o mecanismos básicos, si bien es cierto que con frecuencia aparecen simultáneamente. En la transmisión del calor por conducción, el flujo de calor tiene lugar por la transmisión de la energía térmica desde las moléculas de mayor energía cinética de traslación (mayor temperatura) a las de menor energía cinética (menor temperatura) sin que se produzca transporte de masa. En primer lugar se estudia la Ley de Fourier, analizando diversos problemas de conductividad en régimen estacionario como el caso del muro, tanto simple como compuesto, la esfera y el cilindro. A continuación se introducen los procesos de transmisión del calor por convección y radiación, sin entrar en mucho detalles. La convección es un proceso que tiene lugar en un líquido o un gas a consecuencia de movimiento real de las partículas calentadas en su seno. La radiación térmica es emitida por todos los cuerpos como resultado de su temperatura. Esta radiación se emite en todas direcciones, se propaga a la velocidad de la luz y cuando “choca” contra otro cuerpo puede ser reflejada, transmitida o absorbida por éste.

Bibliografía

Young, H. D. y Freedman, R. A., Física Universitaria (Sears-Zemansky), Vol. I (Addison-Wesley, México, 2009). Caps. 17 y 18.

Beléndez, A., Acústica, fluidos y termodinámica (1992).

Tipler, P. A. y Mosca, G., Física para la Ciencia y la Tecnología, Vol. I (Reverté, Barcelona, 2005). Caps. 17 y 18.

Gettys, W. E., Keller, F. J. y Skove, M. J., Física Clásica y Moderna (McGraw-Hill, Madrid, 1991). Caps. 16.

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Tema 2 (Ampliación de Física): Cinemática tridimensional del sólido rígido

El movimiento tridimensional de un sólido rígido es mucho más complejo que el movimiento plano. Los puntos del cuerpo se desplazan en el espacio tridimensional y además las direcciones de los vectores velocidad angular y aceleración angular varían con el tiempo. Recordemos que en movimiento plano de un sólido rígido las direcciones de los vectores y no cambian, manteniéndose siempre perpendiculares al plano del movimiento.

En este caso el tratamiento vectorial no sólo es útil, sino estrictamente necesario para el estudio del movimiento tridimensional de un sólido rígido.

Antes de analizar el movimiento tridimensional de un sólido rígido o bien el caso particular de su rotación en torno a un punto fijo, vamos a considerar algunos aspectos de las rotaciones de cuerpos rígidos en tres dimensiones. De este modo nos familiarizaremos con algunas propiedades de los desplazamientos rotacionales.

En el caso de la rotación en torno a un punto fijo, cada punto del sólido se mueve en una superficie esférica centrada en ese punto.

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Tema 3. Trabajo y energía

En este tema se tratan dos de los conceptos más importantes de la Física, “trabajo” y “energía”, y que irán apareciendo en todos los temas del programa de la asignatura La importancia del concepto de energía surge de la ley de conservación de la energía: la energía es una cantidad que se puede convertir de un tipo de energía a otro, pero no puede crearse ni destruirse.

En primer se define el trabajo realizado por una fuerza, tanto en el caso en el que la fuerza es constante y el movimiento rectilíneo como en el caso general de fuerza variable y movimiento curvilíneo general. Otro concepto importante es la potencia, que no es otra cosa que la rapidez con la que se realiza trabajo. El concepto de trabajo permite, a su vez, definir la energía cinética y obtener el teorema de la energía cinética que indica que el trabajo efectuado por la fuerza neta sobre una partícula es igual al cambio de la energía cinética de la partícula. Es importante señalar que la energía cinética es la energía que tiene un objeto debido a su movimiento y que al estar moviéndose es capaz de producir un trabajo modificando su energía cinética.

A continuación se estudian las fuerzas conservativas y no conservativas y se introduce la energía potencial, que no está asociada al movimiento de una partícula sino, como en el caso de una fuerza gravitatoria, está asociada con la posición de la partícula en el campo gravitatorio. Otro ejemplo de energía potencial de interés es la energía potencial elástica. Para el caso de fuerzas conservativas se introduce el principio de conservación de la energía mecánica, que es una de las leyes fundamentales de la naturaleza. Es importante señalar que cuando un sistema realiza trabajo sobre otro, se transfiere energía entre los dos sistemas, que existen muchas formas de energía y que si la energía de un sistema se conserva, su energía total no cambia aunque parte de ella puede que cambie de forma o naturaleza, pasando de un tipo a otro. La generalización de la ley de conservación de la energía cuando sobre el sistema actúa también fuerzas no conservativas -para las que no existe una energía potencial- es inmediata.

Resulta importante indicar que una forma de transferir energía (absorbida o cedida) de un sistema es intercambiar trabajo con el exterior. Si está es la única fuente de energía transferida (la energía también puede transferirse también cuando hay un intercambio de calor entre un sistema y sus alrededores debido a una diferencia de temperatura, como se verá en el tema “Calor y temperatura”), la ley de conservación de la energía se expresa diciendo que el trabajo realizado sobre el sistema por las fuerzas externas es igual a la variación experimentada por la energía total del sistema. Éste es el teorema trabajo-energía y es un instrumento poderoso para estudiar una amplia variedad de sistemas.

El último apartado del tema finaliza se centra el estudio de los choques, tanto elásticos como inelásticos.

Bibliografía

Alonso, M. y Finn, E. J., Física (Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington, 1995). Cap. 9.

Young, H. D. y Freedman, R. A., Física Universitaria (Sears-Zemansky), Vol. I (Addison-Wesley, México, 2009). Caps. 6, 7 y 8.

Beléndez, A., Bernabeu, J. G. y Pastor, C., Temas de Física para Ingeniería: Trabajo y energía (1988).  http://hdl.handle.net/10045/11344

Tipler, P. A. y Mosca, G., Física para la Ciencia y la Tecnología, Vol. I (Reverté, Barcelona, 2005). Caps. 6 y 7.

Gettys, W. E., Keller, F. J. y Skove, M. J., Física Clásica y Moderna (McGraw-Hill, Madrid, 1991). Caps. 8 y 9.

González, C. F., Fundamentos de Mecánica (Reverté, Barcelona, 2009). Cap. 5.

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