Las ecuaciones de Maxwell

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Los diez experimentos más bellos de la Física

En el año 2002 Robert P. Crease, historiador de la ciencia, preguntó a los lectores de la revista Physics World (donde escribe una columna desde el año 2000 titulada critical point) cuáles eran, en su opinión, los experimentos más bellos de la física. Para confeccionar la lista escogió los diez experimentos que fueron citados por los lectores con mayor frecuencia. Su “lista” se publicó en la revista Physics World, pero de allí la noticia saltó a las páginas de The New York Times el 24 de septiembre de 2002 y en España fue el diario El País el que dedicó mayor atención a la “noticia” en su edición del 23 de octubre de 2002. ¿En qué radica la “belleza” de estos experimentos? Seguramente la respuesta es que el denominador común de la mayor parte de ellos es la gran simplicidad de medios para su realización y que desde luego todos tuvieron una gran capacidad de cambiar el planteamiento dominante en su tiempo que ofrecieron sus conclusiones. Además, casi todos los experimentos de esta lista de los diez más bellos fueron realizados individualmente o, como mucho, con la ayuda de unos pocos colaboradores, y en un plazo de tiempo relativamente corto. El orden del resultado de la encuesta, por número de votos, fue el siguiente:

  1. Interferencia de los electrones al pasar por una doble rendija (Bohr, De Broglie, Heisenberg et al.)
  2. Caída libre de los cuerpos (Galileo)
  3. Determinación de la carga eléctrica del electrón (Millikan)
  4. Descomposición de la luz del Sol por un prisma (Newton)
  5. Interferencia de la luz por la doble rendija (Young)
  6. Medida de la constante de la gravitación universal con una balanza de torsión (Cavendish)
  7. Medida del radio de la circunferencia de la Tierra (Eratóstenes)
  8. Caída de un cuerpo por un plano inclinado (Galileo)
  9. Descubrimiento del núcleo atómico (Rutherford)
  10. Movimiento de la Tierra (péndulo de Foucault)

El experimento que quedó en el undécimo lugar fue el principio de Arquímedes de la hidrostática (ver vídeo), seguido por el método de Römer para la medir la velocidad de la luz. Otros experimentos considerados “bellos” fueron el experimento de Michelson y Morley o la experiencia de Oersted (ver vídeo), ya comentada en una entrada anterior.

Años después Robert P. Crease escribió un libro sobre este tema (“El prisma y el péndulo”), el cual finaliza señalando que “la capacidad de reconocer la belleza de los experimentos nos puede ayudar a abrir los ojos ante un sentido de la belleza más fundamental” y, como punto final a su libro, incluye la siguiente cita del matemático, físico teórico y filósofo de la ciencia francés Henri Poincaré (1854-1912):

“Los científicos no estudian la naturaleza porque sea útil; la estudian porque les place, y les place porque es bella. Si la naturaleza no fuese bella, no valdría la pena conocerla, no valdría la pena vivir la vida”.

Os sugiero busquéis más información sobre estos experimentos que podéis ampliar, por ejemplo, en internet, en textos de Física (Tipler, Gettys, Alonso & Finn, etc.) y más específicamente en los siguientes libros de Robert P. Crease y Manuel Lozano Leyva:

R. P. Crease, El prisma y el péndulo: Los diez experimentos más bellos de la ciencia (Ed. Crítica, Barcelona, 2009).

M. Lozano Leyva, De Arquímedes a Einstein. Los diez experimentos más bellos de la física (Ed. Debate, Barcelona, 2005). (Este libro está disponible en la Biblioteca Politécnica, Óptica y Enfermería de la Universidad de Alicante)

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Comienza la asignatura “Electromagnetismo II” del Grado en Física de la UA

Contenidos para el curso 2018-19

Tema 1.-  CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

  • Introducción
  • Elementos básicos de una red
  • Leyes de Kirchhoff
  • Teoremas relativos a circuitos
  • Circuitos en régimen alterno
  • Potencia en régimen alterno
  • Resonancia

Tema 2.-  ECUACIONES DE MAXWELL Y LEYES DE CONSERVACIÓN

  • Introducción
  • Corriente de desplazamiento. Ley de Ampère-Maxwell
  • Ecuaciones de Maxwell en el espacio libre y en medios materiales
  • Condiciones de contorno
  • Unicidad de la solución
  • Ecuación de continuidad
  • Energía electromagnética. Vector de Poynting
  • Momento lineal del campo electromagnético
  • Momento angular del campo electromagnético
  • Sistemas de unidades

Tema 3.-  ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

  • Introducción
  • Ecuación de ondas para los campos
  • Ondas electromagnéticas en el espacio libre
  • Energía y momento lineal de una onda electromagnética
  • Ondas electromagnéticas en dieléctricos
  • Ondas electromagnéticas en conductores
  • Medios dispersivos
  • Ondas guiadas

Tema 4.-  DINÁMICA DE PARTÍCULAS RELATIVISTAS EN CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

  • Introducción
  • Cinemática y dinámica relativistas
  • Tetrapotencial campo. Función de Lagrange
  • Ecuaciones de movimiento en forma covariante. Tensor campo electromagnético
  • Invariancia gauge
  • Fuerza de Lorentz: expresión covariante de la fuerza
  • Formulaciones lagrangiana y hamiltoniana
  • Transformaciones de los campos
  • Invariantes del campo electromagnético
  • Campo creado por una carga móvil: ley de Biot-Savart

Tema 5.-  LAS ECUACIONES DE MAXWELL EN EL ESPACIO LIBRE

  • Introducción
  • Contenido físico de las ecuaciones de Maxwell (I)
  • Conservación de la carga y tetravector corriente
  • Electrostática y magnetostática: leyes y potenciales
  • Caso no estacionario
  • Ecuaciones de onda para los potenciales. Gauges
  • Contenido físico de las ecuaciones de Maxwell (II)

Tema 6.-  SOLUCIÓN GENERAL DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL

  • Introducción
  • Ondas esféricas asociadas a una carga puntual en el origen. Potenciales retardados
  • Expresión general para los potenciales retardados
  • Comparación con el caso estático: resultados con validez general y parcial
  • Potenciales para una carga móvil: solución de Liénard-Wiechert
  • Campos creados por una carga en movimiento arbitrario: campo próximo y campo de radiación

Tema 7.-  TEORÍA DE LA RADIACIÓN

  • Introducción
  • Radiación por una carga acelerada en la aproximación no-relativista de Larmor: aproximación dipolar
  • Radiación de un dipolo eléctrico
  • Radiación de un dipolo magnético
  • Radiación por una carga acelerada en el caso general
  • Reacción de radiación. Ecuación de Abraham-Lorentz

Tema 8.-  FORMULACIÓN LAGRANGIANA DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO

  • Introducción
  • Caso de la Mecánica Clásica
  • Transición de un sistema discreto a un sistema continuo
  • Formulación lagrangiana de un campo
  • Lagrangiano para el campo electromagnético y formulación covariante de las ecuaciones de Maxwell
  • Tensor energía-impulso
  • Simetrización del tensor energía-impulso. Teorema de Poynting
  • Invariancia gauge y conservación de la carga
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Física y Ciencias Experimentales

Un objetivo de la Física es la comprensión de los componentes básicos de la materia y la búsqueda de las leyes universales que rigen los fenómenos naturales. Se trata, pues, de una Ciencia fundamental porque trata cuestiones del Universo tales como el tiempo, el espacio, la materia, el calor, la luz, el sonido, la electricidad, el magnetismo, etc. Todo suceso que ocurre en la Naturaleza posee algunas características que podrán apreciarse en función de las cuestiones citadas.

La Física ha proporcionado una base conceptual y una estructura teórica sobre la cual se han fundado otras ciencias experimentales y porque desde el punto de vista práctico, ha proporcionado técnicas que pueden utilizarse casi en cualquier área de investigación pura y aplicada. Por ello, es difícil encontrar una ciencia que no utilice técnicas físicas en su desarrollo. Como soy físico de formación (y de profesión), y por ello se me puede decir que parte demasiado interesada, que no soy un observador imparcial, pero puedo afirmar sin riesgo a equivocarme que la Física es posiblemente una de las ciencias más básicas y más fundamentales de todas las que existen, pues es la base de otros muchos campos científicos. Es difícil encontrar una actividad de investigación que no utilice conceptos, teorías y técnicas físicas en su desarrollo, incluyendo campos aparentemente tan alejados como la Arqueología, la Paleontología, la Música, etc. Esto da a la Física el carácter de ciencia fundamental.

Las concepciones de Newton, por ejemplo, pusieron en conexión la Mecánica y la Óptica con el Álgebra, la Geometría y el Cálculo Infinitesimal, vinculándose así, definitivamente la Física y las MATEMÁTICAS.

La ASTRONOMÍA, la Ciencia que explica los movimientos del Sol, de la Luna, de los planetas y de las estrellas, se basa en la Física. Los astrónomos utilizan cada vez más técnicas ópticas, espectroscópicas y de radiocomunicación. El uso de los radiotelescopios y la exploración del Universo con vehículos espaciales, equipados con aparatos automáticos de detección y transmisión, han contribuido extraordinariamente en los últimos años a un mejor conocimiento del Universo.

Telescopio de la Facultad de Ciencias Astrónomicas y Geofísicas de La Plata (Argentina). Créditos: Wikipedia.

En la GEOLOGÍA se utilizan métodos gravimétricos, acústicos, mecánicos y nucleares. La introducción de técnicas radiactivas (geocronología) ha permitido determinar más exactamente la edad y origen de los yacimientos geológicos. Lo mismo podemos decir de la OCEANOGRAFÍA, de la METEOROLOGÍA y de la SISMOLOGÍA.

En el campo de la BIOLOGÍA y de la MEDICINA, el estudio de las estructuras biológicas mediante métodos físicos como los Rayos X, los isótopos radiactivos y el microscopio electrónico son de gran valor en el descubrimiento de los secretos de las proteínas y genes. Los hospitales modernos están equipados con laboratorios en los cuales se utilizan abundantemente las técnicas físicas (ultrasonidos, bombas de cobalto, resonancia magnética nuclear, fibras ópticas, etc.).

La QUÍMICA, por su parte, a partir de Dalton y Lavoisier inicia una cierta dependencia conceptual con la Física. Puede decirse que el desarrollo de las dos Ciencias, ahora como en el pasado, presenta una gran interdependencia. De hecho, las fronteras entre la Química y la Física no siempre están claras.

Bibliografía

M. Alondo y E. J. Finn, Física (Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington, 1995).

Profesiones: La Física. Hablando con Juan Rojo (Acento Editorial. Madrid, 1994).

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Mi editorial en el último número de 2018 de la Revista Española de Física

Aquí se puede acceder al Editorial

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Tema 9. Corriente eléctrica

Este tema está dedicado al estudio de la corriente eléctrica, es decir, al estudio del movimiento de la carga eléctrica de una región a otra. El tema comienza con una descripción de la naturaleza de la corriente eléctrica, introduciendo los conceptos de intensidad y densidad de corriente. La intensidad de corriente es una magnitud escalar que representa la carga que fluye a través de la sección de un conductor por unidad de tiempo, mientras que la densidad de corriente es una magnitud vectorial cuyo flujo a través de una determinada superficie es precisamente la intensidad de la corriente. Un aspecto importante es la expresión que relaciona la densidad de corriente con magnitudes microscópicas de ésta como son el número de portadores de carga por unidad de volumen, la carga de cada portador y su velocidad de arrastre o desplazamiento.

Seguidamente se estudia la ley de Ohm y se introduce el concepto de resistencia y las expresiones para la resistencia equivalente de resistencias en serie y en paralelo. Utilizando la expresión del vector densidad de corriente se llega a una ecuación vectorial para la ley de Ohm que relaciona los vectores densidad de corriente y campo eléctrico aplicado mediante la conductividad o su inversa la resistividad. Es importante presentar algunos valores numéricos de la conductividad (o de la resistividad) para conductores, semiconductores y aislantes, así como señalar que mientras que la resistividad de un conductor metálico aumenta con la temperatura, la de un semiconductor disminuye cuando aquélla se incrementa.

La existencia de una corriente eléctrica a través de conductores que constituyen un circuito eléctrico implica una disipación de energía en forma de calor por efecto Joule, por lo que para mantener una corriente son necesarios otros elementos que aporten energía eléctrica al circuito. Ésta es la función de los generadores, dispositivos capaces de transformar algún tipo de energía en energía eléctrica, y que vienen caracterizados por su fuerza electromotriz.

Finalmente, se describe brevemente la utilización de los amperímetros y voltímetros como instrumentos de medida de intensidades y diferencias de potencial en diferentes montajes.

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Tema 8. Conductores, condensadores y dieléctricos

A partir de los conceptos expuestos en el tema anterior, en éste se estudian los conductores en equilibrio electrostático. Se puede definir un conductor como un material en el que las cargas eléctricas se pueden mover libremente. Haciendo uso de la ley de Gauss se deduce que la carga y el campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio electrostático son nulos de modo que si el conductor está cargado su carga debe estar en la superficie. También utilizando la ley de Gauss se obtiene el valor del campo eléctrico en puntos exteriores próximos a la superficie del conductor, expresión conocida como teorema de Coulomb, comprobándose que en la superficie del conductor el campo eléctrico es normal a la misma. También se muestra como el potencial eléctrico es constante en todos los puntos de un conductor en equilibrio electrostático y, por tanto, que su superficie es una superficie equipotencial. De especial interés resulta el estudio del comportamiento de un conductor cuando se sitúa en un campo eléctrico externo, señalando que se producirá un movimiento transitorio de cargas dentro del conductor, dando lugar a un nuevo campo que, añadido al exterior, provoca un campo eléctrico interior resultante nulo. así como la discusión de la presión electrostática sobre la superficie de un conductor cargado, el poder de las puntas (campo eléctrico más intenso cerca de los puntos del conductor de menor radio de curvatura, como en los bordes o zonas puntiagudas) o el concepto de ruptura dieléctrica, es decir, el fenómeno por el cual muchos materiales no conductores se ionizan en campos eléctricos muy altos y se convierten en conductores. La magnitud del campo eléctrico para el cual tiene lugar la ruptura dieléctrica en un material se conoce como resistencia dieléctrica. Finalmente resulta interesante estudiar algunos sistemas de conductores, sobre todo aquéllos que contienen huecos en los que hay colocados otros conductores analizando el concepto de pantalla eléctrica.

La última parte del tema se dedica al estudio de la capacidad, los condensadores y los dieléctricos. Se introduce el concepto de capacidad y se lleva a cabo un análisis de las propiedades eléctricas de la materia desde los puntos de vista microscópico y macroscópico. Se estudia la capacidad de un condensador, dispositivo útil para almacenar carga y energía, formado por dos conductores muy próximos, pero aislados el uno del otro, que conectados a una diferencia de potencial, tal como una batería, adquieren cargas iguales y opuestas. Se estudian distintos tipos de condensadores como el de láminas planoparalelas, el cilíndrico y el esférico. Se analiza el almacenamiento de energía que se produce durante la carga de un condensador y se introduce el concepto de densidad de energía de un campo electrostático. La energía almacenada en un campo eléctrico es igual a la que se necesita para establecer el campo. Otras cuestiones a estudiar son la asociación de condensadores y las variaciones en la capacidad, el campo, el potencial y la carga eléctrica de un condensador cuando se introduce entre sus láminas un material dieléctrico, dependiendo si el condensador está aislado o no. Es importante hacer mención de que la función del dieléctrico situado entre las placas de un condensador no es sólo la de aumentar su capacidad, sino que también proporciona un medio mecánico para separar los dos conductores, que deben estar muy próximos y aumenta la resistencia a la ruptura dieléctrica en el condensador debido a que la resistencia dieléctrica de un dieléctrico es generalmente mayor que la del aire. Finalmente se estudian los dieléctricos desde un punto de vista microscópico. Los dieléctricos se distinguen de los conductores porque no tienen cargas libres que se puedan mover a través del material, al ser sometidos a un campo eléctrico. Se habla de los dieléctricos apolares y polares y su comportamiento en un campo eléctrico externo el cual, en última instancia, orienta en la dirección del campo eléctrico las moléculas que poseen un momento dipolar permanente o aquéllas en las que se ha inducido un momento dipolar, pues en un dieléctrico polarizado cada molécula se comporta como un dipolo eléctrico. Estas moléculas están sometidas a un par que tienen a alinearlas con el campo, pero las colisiones debidas a la agitación térmica de las moléculas tienden a impedir este alineamiento.

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Tema 6. Campo eléctrico

Este tema está dedicado a la Electrostática, es decir, al estudio del campo y el potencial eléctricos originados por cargas eléctricas o distribuciones continuas de cargas en reposo. El tema comienza con el análisis de la electricidad con una breve discusión sobre el concepto de carga eléctrica y la naturaleza eléctrica de la materia, incidiendo especialmente en la conservación y cuantización de la carga, para pasar a la presentación de la ley de Coulomb, ley experimental que describe la fuerza entre dos carga eléctricas fijas puntuales. Posteriormente se introduce el concepto de campo eléctrico y se ve cómo puede describirse mediante líneas de campo o líneas de fuerza que tiene su origen en las cargas positivas y terminan en las cargas negativas, siendo el vector campo eléctrico tangente en cada punto a estas líneas de fuerza y su intensidad viene indicada por la densidad de las líneas de fuerza. El principio de superposición se deduce de la observación de que cada carga produce su propio campo eléctrico, independientemente de todas las otras cargas presentes a su alrededor, y que el campo resultante es la suma vectorial de los campos individuales. Aunque la carga está cuantizada, con frecuencia se presentan situaciones en las que un gran número de cargas están tan próximas que la carga total puede considerarse distribuida continuamente en el espacio, siendo necesario utilizar una densidad de carga para describir una distribución de un gran número de cargas discretas. Se introducen las densidades volumétrica, superficial y lineal de carga. En este contexto se muestran algunos ejemplos de cómo se calcula el campo eléctrico debido a diversos tipos de distribuciones continuas de carga (segmento rectilíneo, anillo y disco). Posteriormente se analiza el movimiento de cargas puntuales en campos eléctricos, en particular en campos uniformes, considerando las situaciones en las que la carga incide con una velocidad tanto paralela como perpendicular a la dirección del campo.

La fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales está dirigida a lo largo de la línea que une las dos cargas y depende de la inversa del cuadrado de su separación, lo mismo que la fuerza gravitatoria entre dos masas. Como la fuerza gravitatoria la fuerza eléctrica entre cargas en reposo es conservativa y existe una función energía potencial asociada con la fuerza eléctrica, siendo la energía potencial proporcional a la carga. Se comprueba como la circulación del campo electrostático creado por una carga puntual a lo largo de una trayectoria cerrada es nula, lo que implica que el campo es conservativo. La energía potencial por unidad de carga se denomina potencial eléctrico, y a kontinuación se obtiene el potencial debido tanto a una carga puntual como a diversas distribuciones continuas de carga. Conviene destacar que sólo es posible determinar diferencias entre los potenciales en dos puntos diferentes. No se puede hablar, por tanto, de potencial absoluto en un punto del espacio, sino sólo de diferencia de potencial entre dos puntos. Si deseamos hablar de potencial eléctrico en un punto dado tenemos que tomar arbitrariamente, como valor de referencia, el potencial en un punto determinado. Normalmente es conveniente elegir como origen el potencial del infinito, pero es importante señalar que esto no siempre es posible, basta citar como ejemplos los casos de la línea infinita cargada o del plano cargado. A partir de la relación del campo eléctrico y el potencial se indica como se puede calcular uno de ellos si se conoce el otro. Conocido el campo eléctrico puede calcularse el potencial calculando la circulación del campo, es decir, mediante una integral. Sin embargo, si el potencial eléctrico es el dato puede determinarse el campo eléctrico mediante el gradiente, es decir, derivando. Asimismo se introducen las superficies equipotenciales como aquellas superficies que tienen el mismo potencial en todos sus puntos. Por ejemplo, las superficies equipotenciales alrededor de una carga puntual son superficies esféricas concéntricas estando la carga situada en el centro de las mismas. Se comprueba como en cada punto de una superficie equipotencial el campo eléctrico es perpendicular a la superficie, esto es, las líneas del campo eléctrico son perpendiculares a las superficies equipotenciales. A continuación se introduce el concepto de flujo del campo eléctrico y se discute la ley de Gauss que relaciona el campo eléctrico que existe en los puntos de una superficie cerrada con la carga neta encerrada dentro de la misma. La ley de Gauss se deduce de la ley de Coulomb y es una de las cuatro ecuaciones de Maxwell del Electromagnetismo. Esta ley proporciona un método práctico para el cálculo del campo eléctrico correspondiente a distribuciones de carga sencillas que posean una cierta simetría (esferas, cilindros, líneas, planos, etc.), haciendo uso del concepto de superficie gaussiana.

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