Stat Trek es un sitio web que proporciona herramientas on-line para ayudar a resolver problemas de estadística. Está bastante bien y ayuda a entender los conceptos. En esta asignatura lo utilizaremos especialmente en el tema de probabilidad y análisis combinatorio, pero puede servir para el cálculo de probabilidades en el tema de modelos de distribuciones discretos y continuos o incluso para simular muestreos aleatorios.
Ejercicio 1. Sea X una variable aleatoria continua tal que:
f(x)=1/x2, x>1
f(x)=0, en el resto
Comprueba que f cumple las propiedades para ser una función de densidad. Calcula la función de distribución de X. Obtén k tal que F(k)=1/2.
Ejercicio 2. Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad es
f(x)=x, 0≤x≤1
f(x)=2-x, 1<x≤2
f(x)=0, en el resto
Calcula su función de distribución.
Ejercicio 3. Calcula el valor de k para que la siguiente función sea la función de densidad de una variable aleatoria continua X.
f(x)=k(1-x)2, 0<x<1
f(x)=0, en el resto
Una vez obtenido k, calcula la función de distribución de X.
Ejercicio 4. Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad es
f(x)=1/3, 0<x<3
f(x)=0, en el resto
Calcula E(X) y Var(X).
Ejercicio 5. Calcula el valor de k para que la siguiente función sea la función de densidad de una variable aleatoria continua X.
f(x)=ke-x/2, x>0
f(x)=0, en el resto
Ejercicio 6. Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad es
f(x)=1-|x|, |x|<1
f(x)=0, en el resto
Calcula su función de distribución.
Ejercicio 7. Calcula el valor de k para que la siguiente función sea la función de densidad de una variable aleatoria continua X.
f(x)=kx2, -3<x<6
f(x)=0, en el resto
Una vez obtenido k, calcula P(X>2), sin calcular previamente la función de distribución.
Ejercicio 8. Calcula el valor de k para que la siguiente función sea la función de densidad de una variable aleatoria continua X.
f(x)=kx(1-x), 0<x<1
f(x)=0, en el resto
Una vez obtenido k, calcula P(X>0.5), sin calcular previamente la función de distribución.
Ejercicio 9. Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad es
f(x)=2/3, 0<x<1
f(x)=1/3, 1≤x<2
f(x)=0, en el resto
Calcula E(X) y Var(X).
Ejercicio 10. Calcula el valor de k para que la siguiente función sea la función de densidad de una variable aleatoria continua X.
f(x)=k(1-x), 0≤x≤1
f(x)=0, en el resto
Una vez obtenido k, obtén la función de distribución. Calcula P(X<1/2), P(X>0.8) y P(X>1/4| X<1/2). Calcula E(X) y Var(X).
En el siguiente enlace encontraréis otro geogebra de Manuel Sada. Esta vez está dedicado a la distribución binomial, el cálculo de la función de cuantía y conceptos relacionados.
Distribución Binomial B(n,p) y cálculo de probabilidades en dicha variable aleatoria discreta.
En los siguientes enlaces se puede acceder a varios geogebras realizados por Manuel Sada que nos permiten entender mejor en qué consiste la distribución Normal y el cálculo de probabilidades en la misma. Como ya sabéis, GeoGebra es un software libre de matemáticas, escrito en Java, para educación en todos sus niveles disponible en múltiples plataformas. Reúne dinámicamente, aritmética, geometría, álgebra y cálculo en un único conjunto tan sencillo a nivel operativo como potente. Ofrece representaciones diversas de los objetos desde cada una de sus posibles perspectivas: vistas gráficas, algebraicas, estadísticas y de organización en organización en tablas y planillas y hojas de datos dinámicamente vinculadas.
Cálculo de probabilidades en una N(0,1) del tipo P(Z<k)=P(Z≤k)
Cálculo de probabilidades en una N(μ,σ) del tipo P(X<k)=P(X≤k)
Cálculo de probabilidades en una N(0,1) del tipo P(a<Z<b)
Uno de los aspectos que serán de especial relevancia para la comprensión del resto de temas de la asignatura es saber calcular percentiles en distintas distribuciones y entender su significado. El siguiente geogebra realizado por José Álvarez nos lo muestra gráficamente para el caso de la N(0,1).
En este curso, para resolver problemas relacionados con la distribución binomial se utiliza el SPSS. Por ejemplo, supongamos que un examen consta de 10 preguntas con 2 posibles respuestas cada una, de las cuales solamente una es correcta. Si se responde al azar a cada una de las preguntas, hay que calcular una serie de probabilidades.
a) Probabilidad de acertar 5 preguntas exactamente.
b) Probabilidad de acertar al menos 1.
c) Probabilidad de acertar al menos 5.
d) Probabilidad de contestar correctamente entre 3 y 6 preguntas en dicho test.
Solución:
Sea X=número de preguntas contestadas correctamente en un test de un total de 10 preguntas.
n=10
p=p(éxito)=p(pregunta contestada correctamente)=0.5, por tanto p permanece constante.
Asumiendo independencia entre las contestaciones de las preguntas, obtenemos que X~B(10,0.5).
Entonces:
a) P(X=5)=PDF.BINOM(5,10,0.5).
b) P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-PDF.BINOM(0,10,0.5).
c) P(X≥5)=1-P(X<5)=1-P(X≤4)=1-CDF.BINOM(4,10,0.5).
d) P(3≤X≤6)=P(X≤6)-P(X<3)=P(X≤6)-P(X≤2)=
=CDF.BINOM(6,10,0.5)-CDF.BINOM(2,10,0.5)=0.773437.
Ahora solamente quedaría acceder al SPSS y hacer los cálculos oportunos. Recordad que a la hora de corregir los ejercicios se le dará mucha importancia al planteamiento, el cual se debe realizar de forma razonada e incluyendo todos los pasos como se ha hecho aquí.
El siguiente vídeo resume algunas de las opciones del SPSS y de R que se van a utilizar en el tema de Modelos de distribuciones discretos y continuos para realizar la correspondiente práctica en el laboratorio.
A la hora de entender el cálculo de probabilidades en variables aleatorias continuas, es útil conocer la forma que tiene la función de densidad. Tal y como se desprende del vídeo, con R podemos ver la forma de dicha función para variables aleatorias continuas tales como la Normal, t de Student, F de Snedecor, Ji-cuadrado, etc. Para otras funciones de densidad relativas a los ejercicios iniciales sobre variables aleatorias continuas podemos usar, por ejemplo, fooplot, una herramienta on-line que permite representar gráficamente funciones.