Tag: distribuciones

Una aplicación para el cálculo de probabilidades para distribuciones discretas y continuas.

Ahora no tienes excusa. Con la siguientes applets de estadística es bastante fácil entender el cálculo de probabilidades en distribuciones discretas: Poisson, Binomial, …, y distribuciones continuas: Normal, Chi-cuadrado, F, t de Student, … Estas applets han sido realizadas por Matt Bognar, profesor de la Universidad de Iowa. Se puede acceder a ellas desde la web, a través de su página personal. Pero además incluye la aplicación para IOS (iOS 7.1 o superior) y la aplicación  para Android para que podáis trabajar con más comodidad desde el móvil o tableta. Aquí os muestro un ejemplo para el caso de la Binomial:

binombognar

Modelos de distribución discretos y continuos (guiones de teoría y práctica)

El tema de Modelos de distribución discretos y continuos  se imparte tanto en las clases de teoría como en las de prácticas.  El alumnado dispone en el Campus Virtual de  un guión de teoría, unas diapositivas para la parte práctica del laboratorio  y el correspondiente tema on-line de la asignatura para su consulta a la hora de hacer la práctica propuesta. Aquí os dejo el guión que se utiliza en clase de teoría  para explicar el tema 5.

Recordad que un guión  no son unos apuntes.

 

Si quieres consultar  las diapositivas  prácticas, puedes acceder aquí para ver el vídeo. Y si deseas ver más entradas del blog sobre este tema puedes hacerlo desde aquí.

 

¿Qué es Stat Trek?

Stat Trek es un  sitio web que proporciona herramientas on-line para ayudar a resolver problemas de  estadística.  Está bastante bien y ayuda a entender los conceptos. En esta asignatura lo utilizaremos especialmente en el tema de probabilidad y análisis combinatorio, pero puede servir para el cálculo de probabilidades en  el tema de modelos de distribuciones discretos y continuos o incluso para simular muestreos aleatorios.

 

Necesitas ayuda con las distribuciones, pues hazle volar

Siéntete de nuevo en tu infancia y haz volar lo más lejos posible al profe (que no a la profe) y las veces que quieras con Fling the teacher, un minijuego infantil. Siempre que contestes bien a las preguntas correspondientes del juego,  claro. Son preguntas relacionadas con la práctica del tema 5 que también te pueden ayudar a realizarla o comprobar que vas por el buen camino.

Pincha aquí si prefieres jugar y si lo que quieres es ver más juegos del blog accede aquí.

Dos ejercicios sobre distribuciones con Hot Potatoes

Los siguientes dos ejercicios te pueden ayudar a plantear y resolver problemas sobre distribuciones en los que se tengan que combinar varias distribuciones, discretas y/o continuas, para llegar al resultado (son ejercicios  del mismo tipo que   el  5.7 y 5.8 de la práctica del tema):

Si quieres ver más actividades del blog planteadas con  Hot Potatoes puedes acceder desde  aquí.

Enunciados de ejercicios relacionados con las distribuciones continuas

Ejercicio 1. Sea X una variable aleatoria continua tal que:

f(x)=1/x2, x>1

f(x)=0, en el resto

Comprueba que f cumple las propiedades para ser una función de densidad. Calcula la   función de distribución de X. Obtén k tal que F(k)=1/2.

Ejercicio 2. Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad es

f(x)=x, 0≤x≤1

f(x)=2-x, 1<x≤2

f(x)=0, en el resto

Calcula su  función de distribución.

Ejercicio 3. Calcula el valor de k para que la siguiente función sea la función de densidad de una variable aleatoria continua X.

f(x)=k(1-x)2, 0<x<1

f(x)=0, en el resto

Una vez obtenido k, calcula la función de distribución de X.

Ejercicio 4. Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad es

f(x)=1/3, 0<x<3

f(x)=0, en el resto

Calcula E(X) y Var(X).

Ejercicio 5. Calcula el valor de k para que la siguiente función sea la función de densidad de una variable aleatoria continua X.

f(x)=ke-x/2, x>0

f(x)=0, en el resto

Ejercicio 6. Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad es

f(x)=1-|x|, |x|<1

f(x)=0, en el resto

Calcula su  función de distribución.

Ejercicio 7. Calcula el valor de k para que la siguiente función sea la función de densidad de una variable aleatoria continua X.

f(x)=kx2, -3<x<6

f(x)=0, en el resto

Una vez obtenido k, calcula P(X>2), sin calcular previamente la función de distribución.

Ejercicio 8. Calcula el valor de k para que la siguiente función sea la función de densidad de una variable aleatoria continua X.

f(x)=kx(1-x), 0<x<1

f(x)=0, en el resto

Una vez obtenido k, calcula P(X>0.5), sin calcular previamente la función de distribución.

Ejercicio 9. Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad es

f(x)=2/3, 0<x<1

f(x)=1/3, 1≤x<2

f(x)=0, en el resto

Calcula E(X) y Var(X).

Ejercicio 10. Calcula el valor de k para que la siguiente función sea la función de densidad de una variable aleatoria continua X.

f(x)=k(1-x), 0≤x≤1

f(x)=0, en el resto

Una vez obtenido k, obtén la función de distribución. Calcula P(X<1/2), P(X>0.8) y  P(X>1/4| X<1/2). Calcula E(X) y Var(X).

Distribución Normal con Geogebra

En los siguientes enlaces se puede acceder a varios geogebras realizados por Manuel Sada que nos permiten entender mejor en qué consiste la distribución Normal y el cálculo de probabilidades en la misma. Como ya sabéis, GeoGebra es un software libre de matemáticas, escrito en Java,  para educación en todos sus niveles disponible en múltiples plataformas. Reúne dinámicamente, aritmética, geometría, álgebra y cálculo en un único conjunto tan sencillo a nivel operativo como potente. Ofrece representaciones diversas de los objetos desde cada una de sus posibles perspectivas: vistas gráficas, algebraicas, estadísticas y de organización en organización en tablas y planillas y hojas de datos dinámicamente vinculadas.

Distribución Normal

Cálculo de probabilidades en una N(0,1) del tipo  P(Z<k)=P(Z≤k)

Cálculo de probabilidades en una N(μ,σ) del tipo  P(X<k)=P(X≤k)

Cálculo de probabilidades en una N(0,1) del tipo P(a<Z<b)

Uno de los aspectos que serán de especial relevancia  para la comprensión del resto de temas de la asignatura es saber calcular percentiles en distintas distribuciones y entender su significado. El siguiente geogebra realizado por José Álvarez nos lo muestra gráficamente para el caso de la N(0,1).

Valores críticos de una N(0,1)

Distribución Normal: un ejemplo de cálculo de probabilidades

En el siguiente vídeo se muestra un ejemplo de cálculo de probabilidades usando la distribución normal en el que se utiliza, para hacer los cálculos,  la tabla de la función de distribución de la N(0,1). La forma de calcular  probabilidades en una variable X que se distribuye N(μ, σ) a partir de dicha tabla se basa en que la variable Z=(X-μ)/σ se  distribuye N(0,1). Dicha tabla la tenéis en la sesión 5 del Campus Virtual (tablanormalFD.pdf)  y la forma de utilizarla se explica en  dicha sesión.

[kml_flashembed movie="http://www.youtube.com/v/0LgkYn0ISFw" width="425" height="350" wmode="transparent" /]

Como se ha comentado en clase, para el cálculo de estas probabilidades podemos usar dicha tabla, pero para la realización de la práctica del tema 5 usaremos  el SPSS.

A la hora de resolver problemas de este estilo en la práctica utilizando el SPSS deberemos plantearlo de la siguiente forma:

Sea X=peso de los  individuos de la población.

Según los datos del problema del vídeo sabemos que X~N(65,8).

Y nos piden que calculemos: P(X>68) y P(X<60).

Entonces tendremos que calcular:

P(X>68)=1-P(X≤68)=1-CDF.NORMAL(68,65,8)

P(X<60)=CDF.NORMAL(60,65,8)

Ahora sólo quedaría acceder al SPSS y hacer los cálculos oportunos. Puedes comprobar con el SPSS que te dan  aproximadamente los mismos resultados  que en el vídeo (coinciden los dos primeros decimales). Recordad que a la hora de corregir la práctica se le dará mucha importancia al planteamiento que se debe realizar de forma razonada e incluyendo todos  los pasos como se ha hecho aquí.

Supongamos ahora que nos piden que calculemos la probabilidad de que el peso de un individuo de dicha población esté entre 60 y 64 kg. En este caso tendríamos que calcular la siguiente probabilidad, cuyo resultado obtenido con el SPSS también se adjunta:

P(60≤X≤64)=P(X≤64)-P(X<60)=

=CDF.NORMAL(64,65,8)-CDF.NORMAL(60,65,8)=0.184276.

Aprovechamos para recordar que en el caso continuo P(X=a)=0 por lo que P(X<a)=P(X≤a) y P(X>a)=P(X≥a). En el caso discreto esto no es cierto (véase  la entrada de este blog: Distribución binomial: un ejemplo de cálculo de probabilidades).

Distribución binomial: un ejemplo de cálculo de probabilidades

En el siguiente vídeo se muestra un ejemplo de cálculo de probabilidades usando la distribución binomial en el que se utiliza, para hacer los cálculos,  directamente la fórmula de la función de cuantía. Recordamos que  la binomial de parámetros n=1 y p (es decir B(1,p))  se llama distribución bernoulli y se denota también  por b(p).

[kml_flashembed movie="http://www.youtube.com/v/uauhB_1QyUE" width="425" height="350" wmode="transparent" /]

Como se ha comentado en clase, para el cálculo de estas probabilidades podemos usar la fórmula de la función de cuantía, las tablas de la binomial o software estadístico como el SPSS.

A la hora de resolver problemas de este estilo en la práctica utilizando el SPSS deberemos plantearlo de la siguiente forma:

Sea X=número de preguntas contestadas correctamente en el test  de un total de 10 preguntas.

n=10

p=p(éxito)=p(pregunta contestada correctamente)=0.5, por tanto p permanece constante.

Asumiendo independencia entre las contestaciones de las preguntas, obtenemos que  X~B(10,0.5).

Entonces:

P(X=5)=PDF.BINOM(5,10,0.5).

P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-PDF.BINOM(0,10,0.5).

P(X≥5)=1-P(X<5)=1-P(X≤4)=1-CDF.BINOM(4,10,0.5).

Ahora sólo quedaría acceder al SPSS y hacer los cálculos oportunos. Puedes comprobar con el SPSS que te dan los mismos resultados (salvo errores de redondeo) que en el vídeo. Recordad que a la hora de corregir la práctica se le dará mucha importancia al planteamiento que se debe realizar de forma razonada e incluyendo todos  los pasos como se ha hecho aquí.

Supongamos ahora que nos piden que calculemos la probabilidad de  contestar correctamente  entre 3 y 6 preguntas en dicho test. En este caso tendríamos que calcular la siguiente probabilidad, cuyo resultado obtenido con el SPSS también se adjunta:

P(3≤X≤6)=P(X≤6)-P(X<3)=P(X≤6)-P(X≤2)=

=CDF.BINOM(6,10,0.5)-CDF.BINOM(2,10,0.5)=0.773437.

Modelos de distribución discretos y continuos con R y SPSS

El siguiente vídeo resume  algunas de las opciones del SPSS y de R que se van a utilizar en el  tema de Modelos de distribuciones discretos y continuos para  realizar la correspondiente práctica en el laboratorio.

A la hora de entender el cálculo de probabilidades en variables aleatorias continuas, es útil conocer la forma que tiene la función de densidad.  Tal y como  se desprende del vídeo,  con R podemos ver la forma de dicha función para variables aleatorias continuas tales como la Normal, t de Student, F de Snedecor, Ji-cuadrado, etc.  Para otras funciones de densidad relativas a los ejercicios  iniciales sobre variables aleatorias continuas podemos usar, por ejemplo, fooplot, una herramienta  on-line que permite  representar gráficamente funciones.

Integrales definidas y áreas

En el siguiente vídeo podéis ver una de las aplicaciones del cálculo de integrales definidas: el cálculo de áreas.

[kml_flashembed movie="http://www.youtube.com/v/cNDQNBjm6tM" width="425" height="350" wmode="transparent" /]

Nosotros utilizaremos en Estadística  las integrales definidas para calcular probabilidades en variables aleatorias continuas  ya que, como veremos en clase, el cálculo de dichas probabilidades se reduce al cálculo de  áreas. Así que no vendría mal repasar cómo se resuelven integrales definidas. El siguiente vídeo os puede ayudar. En él se utiliza el término antiderivada para hablar de la función primitiva.

[kml_flashembed movie="http://www.youtube.com/v/8QccEGEBBTM" width="425" height="350" wmode="transparent" /]

Como siempre esto lo podéis complementar con el material relacionado con integrales definidas  que hay disponible en la sesión 5 del Campus Virtual (repaso de prerrequisitos).

Introducción a las integrales

Cuando ya tengáis claro cómo se calculan derivadas podéis empezar a repasar el cálculo de integrales. Este vídeo os puede ser de mucha utilidad. Utiliza un lenguaje “peculiar” pero es bastante pedagógico.

[kml_flashembed movie="http://www.youtube.com/v/Q1nRFIYlYbU" width="425" height="350" wmode="transparent" /]

Una vez visto, para profundizar en el tema,   podéis acceder a  la sesión 5  del Campus Virtual donde tenéis material y ejercicios resueltos para recordar cómo se calculan  integrales  (véase repaso de prerrequisitos).

Recordad que necesitaremos tener claros estos conceptos cuando iniciemos la parte de distribuciones continuas del tema 5 de la asignatura.

Cálculo de derivadas e interpretación geométrica

En el siguiente ejemplo se ilustra de forma muy clara la interpretación geométrica de la derivada.

[kml_flashembed movie="http://www.youtube.com/v/KHuO1CK5fhs" width="425" height="350" wmode="transparent" /]

En la sesión 5  del Campus Virtual tenéis material para recordar cómo se calculan derivadas (véase repaso de prerrequisitos).   En está asignatura  habrá  que prestarle especial atención al cálculo de derivadas  muy básicas como las que se explican en  los siguientes vídeos de forma muy clara y pedagógica.

[kml_flashembed movie="http://www.youtube.com/v/6VT3V4J1S7E" width="425" height="350" wmode="transparent" /]

[kml_flashembed movie="http://www.youtube.com/v/-6_-HHkGC9I" width="425" height="350" wmode="transparent" /]

Si después de ver estos vídeos (y si es necesario  revisar el material on-line del Campus Virtual haciendo algunas de las derivadas que se plantean) no os queda claro, poneos en contacto conmigo para planificar una tutoría dedicada a este tema.