Daily Archives: 18/03/2011

Distribución binomial: un ejemplo de cálculo de probabilidades

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En este curso, para resolver problemas relacionados con la distribución binomial se utiliza el  SPSS. Por ejemplo, supongamos que un examen consta de 10 preguntas con 2 posibles respuestas cada una, de las cuales solamente una es correcta.  Si se responde al azar a cada una de las preguntas, hay que calcular una serie de probabilidades.

a) Probabilidad de acertar 5 preguntas exactamente.

b) Probabilidad de acertar al menos 1.

c) Probabilidad de acertar al menos 5.

d) Probabilidad de  contestar correctamente  entre 3 y 6 preguntas en dicho test.

Solución:

Sea X=número de preguntas contestadas correctamente en un test de un total de 10 preguntas.

n=10

p=p(éxito)=p(pregunta contestada correctamente)=0.5, por tanto p permanece constante.

Asumiendo independencia entre las contestaciones de las preguntas, obtenemos que  X~B(10,0.5).

Entonces:

a) P(X=5)=PDF.BINOM(5,10,0.5).

b) P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-PDF.BINOM(0,10,0.5).

c) P(X≥5)=1-P(X<5)=1-P(X≤4)=1-CDF.BINOM(4,10,0.5).

d) P(3≤X≤6)=P(X≤6)-P(X<3)=P(X≤6)-P(X≤2)=

=CDF.BINOM(6,10,0.5)-CDF.BINOM(2,10,0.5)=0.773437.

Ahora solamente quedaría acceder al SPSS y hacer los cálculos oportunos.  Recordad que a la hora de corregir los ejercicios se le dará mucha importancia al planteamiento, el cual se debe realizar de forma razonada e incluyendo todos los pasos como se ha hecho aquí.

Estadística y sondeos electorales

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En breve habrá elecciones municipales en España y ya han empezado a realizarse los primeros sondeos.  Los sondeos electorales son una de las aplicaciones de la estadística que más interés despierta. Una de las características de estos sondeos  es que una vez realizadas las elecciones se sabe si las estimaciones obtenidas con las encuestas se han acercado realmente a los resultados definitivos obtenidos en las elecciones. Por lo que todos podemos opinar y como la realidad es que algunas veces fallan, esto produce críticas e incredulidad dando la impresión de que la estadística no es una ciencia seria. Pero no siempre es así, muchos han sido los casos de éxito a lo largo de la historia electoral.

Quizá deberíamos hacernos la siguiente pregunta: ¿Se aplican bien los principios de la  estadística matemática?

  • Para que los resultados obtenidos se puedan extrapolar a la población es imprescindible que la muestra sea realmente representativa de la población y se haya obtenido de forma aleatoria.
  • Los sondeos electorales se basan en encuestas realizadas con anterioridad a las elecciones y todos sabemos que la intención de voto va cambiando. Dichos cambios no se pueden predecir  estadísticamente. Un ejemplo claro de este aspecto lo tenemos en lo que ocurrió en las elecciones españolas de 2004, cuando tres días antes de las elecciones se produjo el atentado del 11 de marzo. En este caso, los sondeos electorales fracasaron estrepitosamente.
  • No se puede saber a quién votarán los indecisos. El grupo de indecisos suele representar entre el 20% y 50% y en  estos sondeos, atendiendo  a las respuestas a una serie de preguntas adicionales (como   a qué partido votó en las últimas elecciones o con qué partido simpatiza)  se toma la decisión de asignar cada uno de esos votos indecisos  a uno u otro partido. Esto no tiene nada que ver realmente con la estadística, sino más bien con la sociología, psicología y el análisis político.
  • Nadie nos asegura que los encuestados hayan sido sinceros en su respuesta.
  • En unas elecciones lo relevante no es el porcentaje de votos que va a tener cada partido, sino el número de escaños. Como se ha visto en el vídeo, en España se usa la ley d’Hondt. Toda encuesta estadística tiene un error, en este caso del 3.01% con una confianza del 95% (este concepto, aunque queda bastante claro en el vídeo, se tratará en el tema 6). Ese error puede decantar un escaño a un partido u otro, pero no se tiene información suficiente para tomar la decisión a priori.